湖南省娄底市楚才中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A. B.
C. D.8,8
参考答案:
B
2. 已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误的是( )
A. 若m∥β,则m∥l B. 若m∥l,则m∥β
C. 若m⊥β,则m⊥l D. 若m⊥l,则m⊥β
参考答案:
D
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】A选项是正确命题,由线面平行的性质定理知,可以证出线线平行;
B选项是正确命题,因为两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面;
C选项是正确命题,因为一个线垂直于一个面,则必垂直于这个面中的直线;
D选项是错误命题,因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线,不能推出它垂直于这个平面;
故选:D.
【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系,还考查了推理论证的能力,属于中档题.
3. 函数的单调递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(3,+∞)
参考答案:
D
4. 已知p:则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
答案:D
5. 设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
C
略
6. 若,则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
7. 下列结论错误的是 ( )
A.命题:“若”的逆否命题为:“若,则
”
B. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题:“存在为实数,”的否定是“任意是实数,”
参考答案:
B
略
8. sin2040°=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
.故选B.
9. 已知非零向量,满足 ,且 ,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件,解得夹角.
【详解】由已知可得,设的夹角为,则有
,又因为,所以,故选C.
【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示,考查基本求解能力.
10. 若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
(A)a<-1 (B)≤1 (C) <1 (D)a≥1
参考答案:
答案:B
解析:若对任意R,不等式≥ax恒成立,当x≥0时,x≥ax,a≤1,当x<0时,-x≥ax,∴a≥-1,综上得,即实数a的取值范围是≤1,选B。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了”;乙说:“丙申请了”;丙说:“甲和丁都没有申请”;丁说:“乙申请了”,如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______.
参考答案:
乙
先假设甲说的对,即甲或乙申请了但申请人只有一个,
(1)如果是甲,则乙说“丙申请了”就是错的,丙说“甲和丁都没申请”就是错的,
丁说“乙申请了”也是错的,这样三个错的,不能满足题意,故甲没申请.
(2)如果是乙,则乙说“丙申请了”就是错的,丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙,丙,戊,但是不一定是乙,故说法不对,丁说“乙申请了”也是对的,这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意.
故答案为乙.
12. 若复数z满足(i为虚数单位),则|z|= .
参考答案:
【考点】复数求模.
【专题】方程思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用行列式的性质可得z﹣i(1﹣2i)=0,再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵复数z满足(i为虚数单位),
∴z﹣i(1﹣2i)=0,
化为z=i+2.
则|z|==.
故答案为:.
【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13. 若命题“?x∈R,使得x2+(1﹣a)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣1,3]
【考点】特称命题.
【分析】因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“?x∈R,使得x2+(1﹣a)x+1<0”,则相应二次方程有重根或没有实根.
【解答】解:∵“?x∈R,使得x2+(1﹣a)x+1<0是假命题,
∴x2+(1﹣a)x+1=0没有实数根或有重根,
∴△=(1﹣a)2﹣4≤0
∴﹣1≤a≤3
故答案为:[﹣1,3].
14. 运行如图语句,则输出的结果T= .
参考答案:
625
考点: 伪代码.
专题: 计算题;图表型.
分析: 本题所给的是一个循环结构的算法语句,由图可以看出,此是一个求等差数列和的算法语句,由公式计算出T的值,即可得到答案.
解答: 解:T=1,I=3,
第1次循环,T=1+3,I=5<50,符合循环条件,
第2次循环,T=1+3+5,I=7<50,符合循环条件,
…,
第23次循环,T=1+3+…+47,I=49<50,符合循环条件,
第24次循环,T=1+3+…+49,I=51>50,不符合循环条件,输出T,
∴T=1+3+…+49==625,
∴输出的结果T=625.
故答案为:625.
点评: 本题考查了伪代码,即循环结构的算法语句,解题的关键是理解题设中语句的意义,从中得出算法,由算法求出输出的结果.属于基础题.
15. 已知函数的图像恒过定点,又点的坐标满足方程,则的最大值为 .
参考答案:
16. 已知集合M={x|-2≤x-1≤2},N={x|x=2k-1,k∈N*},Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有________个.
参考答案:
2
解析:M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
17. 在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,已知AC⊥平面CDE,BD//AC,△ECD为等边三角形,F为ED边的中点,CD=BD=2AC=2
(1)求证:CF∥面ABE;
(2)求证:面ABE⊥平面BDE:
(3)求三棱锥F—ABE的体积。
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:取BE的中点G,连FG∥,AC∥,四边形为平行四边形,故CF∥AG, 即证CF∥面ABE …………………………3分
(Ⅱ)证明:△ECD为等边三角形,得到CF⊥ED又CF⊥BDCF⊥面BDE
而CF∥AG ,故⊥面BDE,
平面ABE,平面ABE ⊥平面BDE……………………………… 7分
(Ⅲ)由CF⊥面BDE,面BDE,所以
19. 如图所示,△ABC内接于⊙O,直线AD与⊙O相切于点A,交BC的延长线于点D,过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E.
(I)求证:DE2=AE?BE;
(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F,且EF=4,EA=2,求线段AC的长.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】证明题;转化思想;综合法;推理和证明.
【分析】(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB,由此能证明DE2=AE?BE.
(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA?EB,由DE∥CA,得△BAC∽△BED,由此能求出AC.
【解答】证明:(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线,∴∠DAC=∠B,
∵DE∥CA,∴∠DAC=∠EDA,∴∠EDA=∠B,
∵∠AED=∠DEB,∴△AED∽△DEB,
∴,∴DE2=AE?BE.
解:(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线,EAB是⊙O割线,
∴EF2=EA?EB,
∵EF=4,EA=2,∴EB=8,AB=EB﹣EA=6,
由(Ⅰ)知DE2=AE?BE,∴DE=4,
∵DE∥CA,∴△BAC∽△BED,
∴,
∴AC==.
【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.
20. 已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)满足f(x+y)=f(x)?f(y),且f(3)=8.
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式|x﹣1|<m的解集为(b,a),求实数m的值.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】方程思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据条件建立方程关系即可求实数a,b的值;
(2)根据绝对值不等式的解法进行求解即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)满足f(x+y)=f(x)?f(y),且f(3)=8.
∴ax+y+b=ax+b?ay+b=ax+y+2b,即
x+y+b=x+y+2b,则b=0,
即f(x)=ax,
∵f(3)=8,
∴f(3)=a3=8,得a=2,
即实数a,b的值为a=2,b=0;
(2)∵a=2,b=0,∴不等式|x﹣1|<m的解集为(0,2),
则m>0,
由|x﹣1|<m得1﹣m<x<1+m,
由,得m=1.
【点评】本题主要考查不等式的求解,根据抽象函数关系,结合绝对值不等式的解法是解决本题的关键.
21. (本小题满分13分) 已知椭圆的焦点为,,
离心率为,直线与轴,轴分别交于点,.
(Ⅰ)若点是椭圆的一个顶点,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若线段上存在点满足,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由椭圆的离心率为,故,………2分
由,得, ∴,……4分 所求的椭圆方程为.……5分
(Ⅱ)可设椭圆方程为,联立得,…7分
已知线段上存在点满足,即线段与椭圆有公共点,
等价于方程在上有解.…………9分
∴, 由,故,
故所求的的取值范围是.…………13分
22. 已知
(Ⅰ)若a=1,求;
(Ⅱ)若,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)当a=1时,
∴ ……………………………………6分
(Ⅱ)
且
实数a的取值范围是(1,3) ……………………………………12分