四川省广安市华蓥第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设为正数,且,则下列各式中正确的一个是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 下列函数求导运算正确的有( )
①(3x)′=3xlog3e;
②(log2x)′=;
③(ex)′=ex;
④()′=x;
⑤(x?ex)=ex(1+x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
【考点】导数的运算.
【分析】根据(ax)′=axlna,(logax)′=,(lnx)′=即可作出判断.
【解答】解:①(3x)′=3xln3,故错误;
②(log2x)′=,故正确;
③(ex)'=ex,故正确;
④()′=﹣,故错误;
⑤(x?ex)′=ex+x?ex,故正确.
故选:C.
3. 著名的狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集.现有如下四个命题:
①; ②函数为奇函数;
③,恒有; ④,恒有.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
对于①,时,,,故①错误;
对于②,时,,
时,,
不是奇函数,故②错误;
对③,时,,
,
时,,
,故③正确.
对④,时,,
,④错误,
故真命题个数为1,故选A.
4. 设则二项式的展开式的常数项是( )
A.24 B. C. 48 D.
参考答案:
A
略
5. 在△ABC中,角A、B、C所对的对边长分别为,sinA、sinB、sinC成等比数列,且,则cosB的值为
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是,乙解决这个问题的概率是,那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 圆的圆心的极坐标是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 在复平面内,复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
(A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i
参考答案:
C
9. 如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形,
俯视图是一个直径为的圆,那么这个几何体的全面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 若不等式x+px+q<0的解集为(-)则不等式qx+px+1>0的解集为( )
A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-) D.R
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 甲投篮的命中率为0.8,乙投篮的命中率为0.7,每人投3次,两人都恰好命中2次的概率是 (结果保留到小数点后面三位).
参考答案:
0.169
【考点】相互独立事件的概率乘法公式.
【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式求解.
【解答】解:甲投篮的命中率为0.8,乙投篮的命中率为0.7,
每人投3次,两人都恰好命中2次的概率是:
p=()?()≈0.169.
故答案为:0.169.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式的合理运用.
12. 双曲线的两条渐近线的夹角为 .
参考答案:
渐近线为: ∴夹角为:
13. 一个正三棱柱的三视图如右图所示,则该三棱柱的侧面积是 .
参考答案:
14. 若过点P(5,﹣2)的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0,则该双曲线的实轴长为 .
参考答案:
6
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x2﹣4y2=λ(λ≠0),求得λ,再求2a.
【解答】解:设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ(λ≠0),
将P(5,﹣2)代入,得λ=9,
∴x2﹣4y2=9,∴a=3,实轴长2a=6,
故答案为:6.
【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论.
15. 已知不等式,对满足的一切实数
都成立,则实数的取值范围为_________.
参考答案:
略
16. 若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是: .
参考答案:
m≥1,且m≠2010
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】转化思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求得直线恒过定点(0,1),由直线与椭圆恒有公共点,可得(0,1)在椭圆上或在椭圆内.代入椭圆方程,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:直线y=kx+1即为y﹣1=k(x﹣0),
则直线恒过定点(0,1),
由直线与椭圆恒有公共点,
可得(0,1)在椭圆上或在椭圆内.
即有+≤1,
解得m≥1,又m>0,且m≠2010,
即有m≥1,且m≠2010,
故答案为:m≥1,且m≠2010.
【点评】本题考查椭圆和直线的位置关系,注意运用直线恒过定点,定点在椭圆上或椭圆内,是解题的关键.
17. 有下列五个命题:
①平面内,到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线;
②平面内,定点F1、F2,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是椭圆;
③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件;
④“若﹣3<m<5,则方程+=1是椭圆”.
⑤已知向量,,是空间的一个基底,则向量+,﹣,也是空间的一个基底.
其中真命题的序号是 .
参考答案:
③⑤
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由抛物线的定义,可判断①;由椭圆的定义,可判断②;由三角形内角和定理及充分必要条件定义,即可判断③;由椭圆的标准方程,即可判断④;由空间向量的基底概念即可判断⑤.
【解答】解:①平面内,到一定点的距离等于到一定直线(定点不在定直线上)距离的点的集合是抛物线,
若定点在定直线上,则动点的集合是过定点垂直于定直线的一条直线,故①错;
②平面内,定点F1、F2,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是线段F1F2,
若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,则点的轨迹是椭圆,故②错;
③在△ABC中,∠A,∠B,∠C三个角成等差数列,则2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B,
∠B=60°,若∠B=60°,则2∠B=∠A+∠C=120°,即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A,
即∠A,∠B,∠C三个角成等差数列,故③正确;
④若﹣3<m<5,则方程+=1,m+3>0,5﹣m>0,若m=1,则x2+y2=4表示圆,
若m≠1,则表示椭圆,故④错;
⑤已知向量,,是空间的一个基底,即它们非零向量且不共线,
则向量+,﹣,也是空间的一个基底,故⑤正确.
故答案为:③⑤
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和方程,注意定义的隐含条件,同时考查等差数列的性质和三角形的内角和定理,以及空间向量的基底,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数
(Ⅰ)若函数在点处的切线方程为,求实数k与a的值;
(Ⅱ)若函数有两个零点,求实数a的取值范围,并证明:.
参考答案:
(1)因为,所以
又因为,所以,即……3分
(2)因为,所以,令,
则,
令,解得,令,解得,
则函数在上单调递增,在上单调递减,所以,
又当时,,当时,,
画出函数的图象,要使函数的图象与有两个不同的交点,则,即实数的取值范围为.……8分
由上知,,不妨设,则,
要证,只需证,因为,且函数在上单调递减,所以只需证,由,所以只需,
即证,即证对恒成立,
令,则
因为,所以,所以恒成立,
则函数在的单调递减,所以,
综上所述.……12分
19. .“每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关,从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表:
男性
女性
合计
爱好
10
不爱好
8
合计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关?
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动,记爱好运动的人数为X,求X的分布列、数学期望.参考数据:
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
(1)没有把握认为爱好运动与性别有关; (2).
【分析】
(1)由题可算出爱好运动的人,即可完成列表,再利用公式求得即可得出结果;
(2)典型的超几何分布,利用公式求得概率,列出分布列,求得期望.
【详解】(1)
男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
由已知数据可求得:
,
所以没有把握认为爱好运动与性别有关.
(2)的取值可能为0,1,2,
,,
.
所以的分布列为:
0
1
2
的数学期望为
.
20. 已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数c的最小值.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)由题意可得,解得即可.
(2)利用导数求出此区间上的极大值和极小值,再求出区间端点出的函数值,进而求出该区间的最大值和最小值,则对于区间上任意两个自变量的值x1,x2,
都对于区间上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x)min|≤c,求出即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R),∴f′(x)=3ax2+2bx﹣3.
∵函数f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,∴切点为(1,﹣2).
∴,即,解得.
∴f(x)=x3﹣3x.
(2)令f′(x)=0,解得x=±1,列表如下:
由表格可知:当x=﹣1时,函数f(x)取得极大值,且f(﹣1)=2;当x=1时,函数f(x)取得极小值,且f(1)=﹣2.
又f(﹣2)═﹣2,f(2)=2.
∴f