2022-2023学年安徽省安庆市长凤中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数,其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知数阵中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若,则这9个数的和为( )
A.16 B.18 C.9 D.8
参考答案:
B
略
4.
满足集合,且=的集合的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
5. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号( )
A. 522 B. 324 C. 535 D. 578
参考答案:
D
【分析】
根据随机抽样的定义进行判断即可.
【详解】第行第列开始的数为(不合适),,(不合适),,,,(不合适),(不合适),,(重复不合适),
则满足条件的6个编号为,,,,,
则第6个编号为
本题正确选项:
【点睛】本题主要考查随机抽样的应用,根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键.
6. 设相量=(2,3),=(﹣1,2),若m+与﹣2垂直,则实数m等于( )
A.﹣ B. C. D.﹣
参考答案:
B
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】由向量的坐标运算求出m+、﹣2的坐标,由向量垂直的坐标运算列出方程求出m的值.
【解答】解:∵=(2,3),=(﹣1,2),
∴m+=(2m﹣1,3m+2),﹣2=(4,﹣1),
∵m+与﹣2垂直,∴4(2m﹣1)﹣(3m+2)=0,
解得m=,
故选B.
7. 如图所示程序框图中,输出
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
8. 已知函数则a的值为
A.1 B.-1 C. D.
参考答案:
A
略
9. 如图,直线与抛物线交于点A,与圆的实线部分(即在抛物线内的圆弧)交于点B,F为抛物线的焦点,则△ABF的周长的取值范围是( )
A.(4,6) B.(4,6] C.(2,4) D.(2,4]
参考答案:
A
∵圆的圆心为(0,1),抛物线的方程为
∴圆心与抛物线的焦点重合
∴
∴三角形的周长
∵
∴三角形的周长取值范围是(4,6)
故选A
10. 复数的虚部是
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为________(海里/h).
参考答案:
12. (几何证明选讲选做题)如图,与圆相切点,为圆的割线,并且不过圆心,已知,,,则 ▲ ;圆的半径等于 ▲.
参考答案:
.12,7
13. (4分)设,则m与n的大小关系为 .
参考答案:
m>n
【考点】: 定积分的简单应用.
【专题】: 计算题.
【分析】: 根据 ex,lnx的导数等于ex,,得到原函数是 ex,lnx,写出当自变量取两个不同的值时,对应的函数值,让两个数字相减进而比较即可得到结果.
解:∵ex,lnx的导数等于ex,,
∴m=ex|=e1﹣e0=e﹣1;
n=lnx|=lne﹣ln1=1.
而e﹣1>1
∴m>n.
故答案为:m>n.
【点评】: 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求解,属于基础题.
14. 已知椭圆C:的左右焦点分别为,点P为椭圆C上的任意一点,若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是 。
参考答案:
知识点:椭圆的定义与离心率.
解析 :解:因为点P的横坐标满足,且当点P在短轴顶点时,一定是锐角或直角,所以,所以椭圆C的离心率的取值范围是,故答案为.
思路点拨:先确定出点P的横坐标的范围,在根据是锐角或直角解不等式组即可.
15. 已知复数z满足(i为虚数单位),则|z|=___
参考答案:
略
16. 在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设∥,若=+λ,则λ的值为 .
参考答案:
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】方程思想;数形结合法;平面向量及应用.
【分析】根据题意得出G是△ABC的重心,用、表示出向量,用表示出,写出的表达式,利用向量相等列出方程组求出λ的值.
【解答】解:由已知得G是△ABC的重心,因此=(+),
由于∥,因此设=k,
所以=(+),
那么=+=+(+1),
=+λ,
所以,
解得λ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题,也考查平面向量的基本定理,是基础题目.
17. 若,当时,,若在区间内,有两个零点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
【答案解析】解析:由于x∈(0,1]时,f(x)=x,则x∈(-1,0]时,(x+1)∈(0,1],故 ,又函数有两个零点,等价于有两个实根,即为函数f(x)与直线y=m(x+1)有两个不同的交点,作图观察得实数m的取值范围是.
【思路点拨】一般判断函数的零点个数时,若直接解答不方便,可转化为两个函数的图像的交点问题,利用数形结合解答.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(l)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且.求直线l的方程.
参考答案:
(1)见解析(2)
【分析】
(1)将消去参数t可得直线的普通方程,利用x=ρcosθ, 可将极坐标方程转为直角坐标方程.(2)利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案.
【详解】(1)由消去参数t得(),
由得曲线C的直角坐标方程为:
(2)由得,圆心为(1,0),半径为2,
圆心到直线的距离为,
∴,即,整理得
,∵,∴,,,
所以直线l的方程为:.
【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,考查直线被圆截得的弦长公式的应用,考查分析能力与计算能力,属于基础题.
19. 如图1所示,平面多边形CDEF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AB,AB=2EF =2,沿着AB将图形折成图2,其中为AD的中点.
(Ⅰ)求证:EH⊥BD;
(Ⅱ)求四棱锥D-ABFE的体积.
参考答案:
(Ⅰ)在梯形中,∵,,
∴,
∴,∵.
∴,
∴,∴.(4分)
∵平面平面,平面平面,∴平面.
(Ⅱ)在中,,∴.
分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,
,,则,,易知平面的一个法向量为,
∵平面的法向量为,∴即令,则,,
∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,
∴,解得,即.(10分)
所以六面体的体积为:
.(12分)
20. 如图1,等腰梯形BCDP中,BC∥PD,BA⊥PD于点A,PD=3BC,且AB=BC=1.沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置(如图2),使∠P'AD=90°.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面P'AC;
(Ⅱ)求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值;
(Ⅲ)线段P'A上是否存在点M,使得BM∥平面P'CD.若存在,指出点M的位置并证明;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出P'A⊥AD,AB⊥AP',从而P'A⊥面ABCD,进而P'A⊥CD,再推导出AC⊥CD,由此能求出CD⊥平面P'AC.
(Ⅱ)推导出P'A⊥面ABCD,AB⊥AD,从而建立空间直角坐标系,求出平面P'AD的法向量和平面P'CD的一个法向量,利用向量法能求出二面角A﹣P'D﹣C的余弦值.
(Ⅲ)设,利用向量法能求出线段P'A上存在点M,使得BM∥平面P'CD.
【解答】(本小题共14分)
证明:(Ⅰ)因为∠P'AD=90°,所以P'A⊥AD.
因为在等腰梯形中,AB⊥AP,所以在四棱锥中,AB⊥AP'.
又AD∩AB=A,所以P'A⊥面ABCD.
因为CD?面ABCD,所以P'A⊥CD.…
因为等腰梯形BCDE中,AB⊥BC,PD=3BC,
且AB=BC=1.
所以,,AD=2.所以AC2+CD2=AD2.
所以AC⊥CD.
因为P'A∩AC=A,所以CD⊥平面P'AC. …
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,P'A⊥面ABCD,AB⊥AD,
如图,建立空间直角坐标系,A(0,0,0),B(1,0,0),
C(1,1,0),D(0,2,0),P'(0,0,1).…
所以,.
由(Ⅰ)知,平面P'AD的法向量为,
设为平面P'CD的一个法向量,则,即,
再令y=1,得. ==.
所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为. …
(Ⅲ)线段P'A上存在点M,使得BM∥平面P'CD.
依题意可设,其中0≤λ≤1.所以M(0,0,λ),.
由(Ⅱ)知,平面P'CD的一个法向量.
因为BM∥平面P'CD,所以,
所以,解得.
所以,线段P'A上存在点M,使得BM∥平面P'CD…
21. 已知数列是等差数列,满足,数列满足:
.
(1)求和;
(2)记数列的前项和为,求.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)借助题设条件运用等差数列的有关知识求解;(2)借助题设运用裂项相消的求和法探求.
试题解析:
(1)设数列的首项和公差分别为,则,解得,
① , ②
①-②得:,当时,, 解得.
考点:等差数列裂项相消法求和等有关知识和方法的综合运用.
22. 已知等差数列满足:,,的前n项和为.
(1)求及.
(2)令 (n∈N*),求数列的前n项和.
参考答案:
(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
所以;==. ------------6
(2)由(1)知,所以bn===,
所以==, 即=.