湖南省衡阳市夏明翰中学2022年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为CC1和BB1的中点,则异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AE与D1F所成角的余弦值.
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A(2,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(2,2,1),
=(﹣2,2,1),=(2,2,﹣1),
设直线AE与D1F所成角为θ,
则cosθ=||=.
∴直线AE与D1F所成角的余弦值为.
故选D.
2. 已知a,b都是实数,且a>0,b>0,则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:当a>0,b>0时,若a>b,则lna>lnb,此时a+lna>b+lnb成立,即充分性成立,
设f(x)=x+lnx,当x>0时,f(x)为增函数,
则由a+lna>b+lnb得f(a)>f(b),即a>b,即必要性成立,
则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件,
故选:C.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质结合函数的单调性的性质是解决本题的关键.
3. 若是定义域为,值域为的函数,则这样的函数共有( )
A、128个 B、126个 C、72个 D、64个
参考答案:
B
4. 设P,Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+(y﹣6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.4
参考答案:
A
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】先由条件求得圆心(0,6)到直线x﹣y=0的距离为d的值,则d减去半径,即为所求.
【解答】解:由题意可得圆心(0,6)到直线x﹣y=0的距离为d=,圆的半径r=,
故|PQ|的最小值为d﹣r=,
故选:A.
【点评】本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
5. 已知全集则图中阴影部分表示的集合是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
先由题,可得阴影部分表示的集合为,然后求得集合的补集,再求得最后答案.
【详解】由题可知,阴影部分表示的集合为
因为所以
又因为所以=
故选C
【点睛】本题考查了集合的交并补,分析图像是解题的关键,属于基础题.
6. 已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
参考答案:
C
【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.
【分析】利用抛物线的定义,推出当A、P、M共线时,|PA|+|PM|取得最小值,由此求得答案.
【解答】解:抛物线焦点F(,0),准线x=﹣,延长PM交准线于N,由抛物线定义|PF|=|PN|,
∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5,而|MN|=,∴PA|+|PM|≥5﹣=,
当且仅当A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P位于抛物线上,∴|PA|+|PM|的最小值为:,
故选:C.
7. 水滴在水面上形成同心圆,边上的圆半径以6m/s的速度向外扩大,则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为( )
A.24π m2/s B. 36π m2/s
C. 72π m2/s D.144π m2/s
参考答案:
D
由题意可知,水滴接触水面后半径与时间的关系为,
则圆的面积,
对时间求导可得:,
令可得末时圆面积的变化速率为 .
本题选择D选项.
8. 要得到函数y=sin(4x+)的图象,只需要将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
A
9. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )
A.9 B.18 C.27 D.36
参考答案:
B
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出老年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率乘以老年职工的个数,得到结果.
【解答】解:设老年职工有x人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,则中年职工有2x,
∵x+2x+160=430,
∴x=90,
即由比例可得该单位老年职工共有90人,
∵在抽取的样本中有青年职工32人,
∴每个个体被抽到的概率是=,
用分层抽样的比例应抽取×90=18人.
故选B.
10. 已知全集,集合,则为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数x, y满足约束条件,则的最小值为 .
参考答案:
-5
12. 设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 。
参考答案:
6
略
13. A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,则曲线上的动点到直线距离的最大值为 .
参考答案:
14. 原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为 .
参考答案:
【考点】点到直线的距离公式.
【分析】直接由点到直线的距离公式得答案.
【解答】解:由点到直线的距离公式可得,原点到直线4x+3y﹣1=0的距离d==,
故答案为:.
15. 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数则点的轨迹方程是___ ___。
参考答案:
略
16. 在样本频率分布直方图中,共有个小长方形,若最中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形的面积之和的,且样本容量为,则最中间一组的频数为___ .
参考答案:
32
17. 已知点,自点M向圆引切线,则切线方程是___________.
参考答案:
和
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 圆C过点M(﹣2,0)及原点,且圆心C在直线x+y=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)定点A(1,3),由圆C外一点P(a,b)向圆C引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.
①求|PQ|的最小值及此刻点P的坐标;
②求||PC|﹣|PA||的最大值.
参考答案:
【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;集合思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)由已知求出线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1,与直线方程x+y=0联立,求出圆心坐标,进一步求出圆的半径,则圆的方程可求;
(2)①设出P点坐标,由题意可得:|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2,结合|PQ|=|PA|可得P的横纵坐标的关系,代入两点间的距离公式,利用配方法求得|PQ|的最小值并求得点P的坐标;
②求出C关于直线l:2x+2y﹣5=0的对称点为C′(m,n),结合三角形两边之差小于第三边得答案.
【解答】解:(1)∵M(﹣2,0),∴线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1,
又圆心C在直线x+y=0上,联立,得,
∴圆心C的坐标为(﹣1,1),则半径r=|OC|=,
∴圆C的方程为(x+1)2+(y﹣1)2=2;
(2)①设P(a,b),连结PC,CQ,
∵Q为切点,∴PQ⊥CQ,
由勾股定理得:|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2,
∵|PQ|=|PA|,∴(a+1)2+(b﹣1)2﹣2=(a﹣1)2+(b﹣3)2,
化简得2a+2b﹣5=0;
∴==,
∴当时,,
此时P点坐标为;
②设C关于直线l:2x+2y﹣5=0的对称点为C′(m,n),
则,解得,∴,
∴,
故||PC|﹣|PA||的最大值为.
【点评】本题考查圆的方程的求法,考查了直线和圆位置关系的应用,训练了配方法及放缩法求最值,是中档题.
19. (本题满分12分)
已知等比数列的前项和为,且是与2的等差中项,等差数列中,,点在直线上.
⑴求和的值;
⑵求数列的通项和;
⑶ 设,求数列的前n项和.
参考答案:
解:(1)由得:;;;
由得:;;;
(2)由┅①得┅②;()
将两式相减得:;;()
所以:当时: ;故:;
又由:等差数列中,,点在直线上.
得:,且,所以:;
(3);利用错位相减法得:;
20. 已知集合A为使函数的定义域为R的a的取值范围,
集合(a为常数,).
若是的必要条件,试求实数a的取值范围.
参考答案:
因为函数的定义域为R,所以
解得, …………3分
由,得,
∴,
即 ……………………6分
∵是的必要条件,.
∴, 解得.
即所求实数a的取值范围是.………………………………10分
21. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明CD⊥AE;
(2)证明PD⊥平面ABE;
(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
参考答案:
考点: 二面角的平面角及求法.
专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角.
分析: (1)运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE;
(2)运用线面垂直的性质和判定定理,即可得到PD⊥平面ABE;
(3)过E点作EM⊥PD于M点,连结AM,由(2)知AE⊥平面PCD,则AM⊥PD,则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.通过解三角形AEM,即可得到所求值.
解答: (1)证明:∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE?平面PAC,
∴CD⊥AE;
(2)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD∴PA⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD∴AB⊥PD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,则△ABC是正三角形.
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD,又AB⊥PD,AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE;
(3)解:过E点作EM⊥PD于M点,连结AM,
由(2)知AE⊥平面PCD,则AE⊥PD,
则PD⊥平面AEM,∴AM⊥PD,
则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.
设AC=a,AD==,PA=