湖南省衡阳市扶轮中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
8.若直线与直线互相垂直,则a等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D. -2
参考答案:
C
2. 一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 函数f(x)=2sin(x﹣)+1的周期、振幅、初相分别是( )
A.4π,﹣2, B.4π,2, C.2π,2,﹣ D.4π,2,﹣
参考答案:
D
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】由函数f(x)的解析式,可以求出它的周期、振幅和初相是什么.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(x﹣)+1,
∴ω=,周期T==4π;
振幅A=2;
初相φ=﹣.
故选:D.
4. 设函数,则函数的递减区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数,x0是方程的根,则[x0]=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
参考答案:
B
6. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,
则f(-3)等于 ( )
A.12 B.6 C.3 D.2
参考答案:
B
略
7. 已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦为分别为AB、CD,则直线AB与CD的斜率之和为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】直线与圆的位置关系;直线的斜率.
【专题】计算题.
【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,由(2,5)在圆内,故过此点最长的弦为直径,最短弦为与这条直径垂直的弦,所以由圆心坐标和(2,5)求出直线AB的斜率,再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率,进而求出两直线的斜率和.
【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣3)2+(y﹣4)2=25,
∴圆心坐标为(3,4),
∴过(2,5)的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1,
又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直,
∴过(2,5)最短弦CD所在的直线斜率为1,
则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0.
故选A
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,垂径定理,直线斜率的计算方法,以及两直线垂直时斜率满足的关系,其中得出过点(2,5)最长的弦为直径,最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键.
8. 若函数在上有零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)是增函数,又f(﹣3)=0,则不等式x?f(x)≥0的解集是( )
A.{x|﹣3≤x≤3} B.{x|﹣3≤x<0或0<x≤3}
C.{x|x≤﹣3或x≥3} D.{x|x≤﹣3或x=0或x≥3}
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(﹣3)=0,可求得f(3)=0,从而可作出其图象,即可得到答案.
【解答】解:由题意得:∵f(﹣3)=﹣f(3)=0,
∴f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴当0<x<3时,f(x)<0,当x>3时,f(x)>0,
又f(x)为定义在R上的奇函数,f(﹣3)=0,
∴当x<﹣3时,f(x)<0,当﹣3<x<0时,f(x)>0,其图象如下:
∴不等式xf(x)≥0的解集为:{x|x≤﹣3或x=0或x≥3}.
故选:D.
10. 把边长分别是的三角形铁丝框架套在一个半径是球上,那么该球的球心到这个三角形铁丝框架所在的平面的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列的前项和分别为,,若,则
参考答案:
略
12. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB,A,B为切点,则直线AB的方程是______________.
参考答案:
2x+2y-7=0
13. 已知集合,若,则x=__________.
参考答案:
或0或-3
【分析】
根据集合间的包含关系分情况讨论,分别解出集合中x的值,注意要满足集合间元素的互异性.
【详解】集合,若,则=3,解得,代入检验符合题意,
或者=9,解得,当x=3时,集合A不满足元素的互异性,故x=-3;
或者x=,解得x=1或0,当x=1时集合元素不满足互异性,故x=0.
故或0或-3.
故答案为:或0或-3.
【点睛】这个题目考查了集合间的包含关系,以及集合元素的互异性的应用. 与集合元素有关问题的思路:(1)确定集合的元素是什么,即确定这个集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
14. 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则__________.
参考答案:
分析:首先根据等差数列的性质得到,利用分数的性质,将项的比值转化为和的比值,从而求得结果.
详解:根据题意有,所以答案是.
点睛:该题考查的是有关等差数列的性质的问题,将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值,结论为,从而求得结果.
15. 若a、b是正常数,a≠b,x、y∈(0,+∞),则+≥,当且仅当=时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=+的最小值为________.
参考答案:
35
由题意知,f(x)=+,x∈,
∵2≠3且均为正常数,x∈,
∴1-2x∈(0,1),
∴+≥,
当且仅当=时,即x=时等号成立,即f(x)≥35.
16. 已知正数a,b满足,则的最小值为______.
参考答案:
24
【分析】
给乘展开后利用基本不等式即可.
【详解】因为,
()()=(6+6+),
故答案为24.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17. 设向量表示“向东走6”,表示“向北走6”,则=______;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分)已知:函数的最小正周期是,且当时取得最大值3。
(1)求的解析式及单调增区间。
(2)若且求
(3)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,且是偶函数,求的最小值。
参考答案:
(1)由 ……2分
…………4分
由可得
的单调增区间是………………6分
(2),
………………………9分
又或………………………11分
19. 数列{an}的前n项和为Sn,,且成等差数列.
(1)求的值;
(2)证明为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(3)设,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
参考答案:
(1);(2)见解析;(3)[1,+∞).
【分析】
,,又成等差数列,解得,
当时,得到,代入化简,即可证得结果
由得,代入化简得,讨论的取值并求出结果
【详解】(1)在中
令,得即,① 又 ②
则由①②解得.
(2)当时,由 ,得到
则 又,则
是以为首项,为公比的等比数列,
,即.
(3)当恒成立时,即()恒成立
设(),
当时,恒成立,则满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,由于对称轴 ,则在上单调递减,
恒成立,则满足条件,
综上所述,实数λ的取值范围是.
【点睛】本题考查了数列的综合题目,在求通项时可以采用的方法来求解,在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题,然后进行分类讨论求出结果。
20. (本小题满分10分)
(1)已知数列的前n项和为,若,求
(2)等差数列的前n项和记为,已知,求n.
参考答案:
(1) 当时,;
当时,
由于不适合此式,
所以……………………………5分
(2) 解 由,
得程组解得
所以.
得
解得或(舍去).……………………………10分
21. (Ⅰ) 化简:;
(Ⅱ) 已知,求的值.
参考答案:
解(Ⅰ)原式
(Ⅱ)可转化为
,解之得:
略
22. 已知集合,,, R.
⑴ 求,(CuA)∩B;
⑵ 如果,求a的取值范围.
参考答案:
解析:⑴ (CuA)∩B={x∣1
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