山东省临沂市第十七中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是定义域R上的增函数,且 ,则函数的单调情况一定是( )
A 在( ,0)上递增 B 在( ,0)上递减
C 在R上递增 D 在上R递减
参考答案:
A
2. 在的展开式中,若第九项系数最大,则的值可能等于 ( )
A、14,15 B、15,16 C、16,17 D、14,15,16
参考答案:
B
略
3. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度; B.假设三内角至多有一个大于60度;
C.假设三内角都大于60度; D.假设三内角至多有两个大于60度。
参考答案:
C
4. 复数
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 在圆x2+y2+2x-4y=0内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是 ( )
参考答案:
B
6. 已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱,底面四条边及两条对角线共10条线段,现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点,规定: (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行;(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 曲线在点(1,2)处的切线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 数列满足,设,
则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 在如右图的程序图中,输出结果是( )
A. 5 B. 10 C. 20 D .15
参考答案:
C
10. 抛物线y2=4x,直线l过焦点且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x1+x2=3,则AB中点到y轴的距离为( )
A.3 B. C. D.4
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质;直线与抛物线的位置关系.
【分析】利用已知条件求出A、B的中点的横坐标即可.
【解答】解:直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x1+x2=3,
AB中点的横坐标为:,则AB中点到y轴的距离为:.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形,侧(左)视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形,则该几何体的体积V是________.
参考答案:
:由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为.
所以V=1×1×=.
12. 用数学归纳法证明,在验证n=1成立时,等式左边是 ▲ .
参考答案:
13. 已知函数是奇函数,则的值等于 .
参考答案:
-1
14. 有4名学生插班到4个班级,每班1人,则不同的插班方案有__________种.
参考答案:
24
15. 函数,则的最大值为 .
参考答案:
16. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.41,摸出白球的概率是0.27,那么摸出黑球的概率是 .
参考答案:
0.32
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】利用对立事件概率计算公式求解.
【解答】解:口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,
从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.41,摸出白球的概率是0.27,
∴摸出黑球的概率是1﹣0.41﹣0.27=0.32.
故答案为:0.32.
17. 试通过圆与球的类比,由“半径为的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为”猜测关于球的相应命题是“半径为的球内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大值
为 ▲ ”.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是等差数列,其中.
(1)数列从哪一项开始小于0?
(2)求值.
参考答案:
解:(1) ……2分
……5分 数列从第10项开始小于0 。 4分
(2)是首项为25,公差为的等差数列,共有10项
其和 8分
19. 已知点(1,)是函数且)的图象上一点,
等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足
-=+().
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列{前项和为,问的最小正整数是多少? .
(3)设求数列的前项和 ks5u
参考答案:
解:(1),
,,
.
又数列成等比数列, ,所以 ;
又公比,所以;
又,, ()
∴数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列,∴ ,∴
当时, (*)
又适合(*)式 ()
(2)
;
由得,故满足的最小正整数为112.
(3)
∴ ①
②
②—① 得
∴
20. 已知,求证:.
参考答案:
证明:
要证成立4分
只需证成立 4分
只需证 6分
只需证
只需证 8分
只需证
只需证 ………10分
而显然成立,则原不等式得证.…………12分
略
21. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出f′(x),因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值,所以得到f′(﹣)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间;
(2)根据(1)函数的单调性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范围即可.
【解答】解;(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b
由解得,
f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(﹣∞,﹣)
﹣
(﹣,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣)和(1,+∞),递减区间是(﹣,1).
(2),
当x=﹣时,f(x)=+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<c2对x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需c2>f(2)=2+c.
解得c<﹣1或c>2.
22. 已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。
(Ⅱ)设,。
(1)当轴时,。
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为。
由已知,得。
把代入椭圆方程,整理得,
,。
。
当且仅当,即时等号成立。当时,,
综上所述。
当最大时,面积取最大值。
略