福建省南平市高级中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 已知平面平面,则“直线平面”是“直线平面”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
D
平面平面,若直线平面,则直线平面或;
平面平面,若直线平面,则直线平面不一定成立,故选择D.
3. 函数的图象
(A) 关于轴对称 (B) 关于轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线对称
参考答案:
【知识点】余弦函数的图象.C3
B 解析:∵余弦函数是偶函数,
∴函数是偶函数,故关于y轴对称,故选B.
【思路点拨】根据余弦函数是偶函数关于y轴对称可得答案.
4. 设x,y满足条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为( )
A.4 B.6 C.12 D.24
参考答案:
A
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积的公式进行转化,利用线性规划求出最优解,建立a,b的关系,结合基本不等式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
平移直线y=﹣x+,由图象知当直线经过点A时,
y=﹣x+时,直线的截距最大,此时z最大为12,
由得,即A(4,6),
此时4a+6b=12,
即+=1,
∴=()(+)=1+1++≥2+2=4,
当且仅当=,即9b2=4a2,时取等号,
则的最小值为4,
故选:A.
5. 已知数列的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2
解析:若an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列,则an+12=anan+2成立,
当an=an+1=an+2=0时,满足an+12=anan+2成立,但an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列不成立,‘
故an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列是“an+12=anan+2”的充分不必要条件,故选:A
【思路点拨】根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
6. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知等比数列的前n项和为,且,则
A. B. C. D.2
参考答案:
A
8. 已知椭圆C:的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为4,过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A,B两点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,则四边形AF1BF2的周长为( )
A.4 B. C.8 D.
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:离心率e==,即4c2=3a2,根据菱形的面积公式可知S=×2a×2b=4,即ab=2,由a2=c2+b2,解得:a=2,b=1,由椭圆的定义可知:四边形AF1BF2的周长4a=8.
【解答】解:由题意可知:椭圆C:焦点在x轴上,
由椭圆的离心率e==,即4c2=3a2,
由四个顶点构成的四边形的面积为4,根据菱形的面积公式可知S=×2a×2b=4,即ab=2,
由a2=c2+b2,解得:a=2,b=1,
则椭圆的标准方程为:,
由椭圆的定义可知:四边形AF1BF2的周长4a=8,
故选C.
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查椭圆的定义的应用,考查计算能力,属于中档题.
9. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点,为原点,若,则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
10. 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输出的值为0,则判断框内为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△中,已知,,且的面积为,则边长为 .
参考答案:
7
略
12. 已知正方形的边长为1,点是边上的点,则的值为 。
参考答案:
1
略
13. 若x,y满足约束条件则的最小值为__________.
参考答案:
2
【分析】
先由约束条件作出可行域,再由目标函数可化为,因此当直线在轴上截距最小时,取最小,结合图像即可求出结果.
【详解】由约束条件作出可行域如下:
因为目标函数可化为,
因此当直线在轴上截距最小时,取最小.
由图像易得,当直线过点时,在轴上截距最小,
即.
故答案为2
【点睛】本题主要考查简单的线性规划,只需由约束条件作出可行域,分析目标函数的几何意义,结合图像即可求解,属于常考题型.
14. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为 .
参考答案:
【答案】
【解析】
15. 若函数且,,则____________.
参考答案:
1
【分析】
首先根据两个函数值求,再求和.
【详解】根据条件可知,解得:,
即 ,
,
故填:1.
【点睛】本题考查分段函数求值,意在考查基本的计算能力,属于简单题型.
16. 已知随机变量的分布列如右表,
1
2
P
m
则m= ; .
参考答案:
,
17. 已知复数满足,则 .
参考答案:
-4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量,函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调增区间;
(2)如果△ABC的三边所对的角分别为,且满足的值.
参考答案:
(1);(2)
试题分析:(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到的形式,利用公式计算周期;(2)求解较复杂三角函数的单调区间时,首先化成形式,再的单调区间,只需把看作一个整体代入相应的单调区间,注意先把化为正数,这是容易出错的地方;(3)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围.
试题解析:(1)
3分
∵的最小正周期为,且>0
∴∴ 4分
∴
由≤≤ 5分
得的增区间为 6分
(2)由∴
又由 8分
∴在中, 9分
∴ 12分
考点:1、求正弦型函数的单调区间;2、三角形中余弦定理的应用.
19. (本题满分14)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得00得01……………………………….5分
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).…………7分
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx……………….8分
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,e)
e
f′(x)
-
0
+
f(x)
2-
单调递减
极小值1
单调递增
2
又2-<2,所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2].…………………11分
据此可得,若相对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点;
并且对每一个t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线y=t与曲线y=f(x)都没有公共点.
综上,当a=1时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2,使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点.………………….14分
20. 如图,菱形ABCD的边长为a,∠D=60°,点H为DC边中点,现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH,点E,F分别为AB,AP的中点.
(1)求证:平面PBC∥平面EFH;
(2)若三棱锥P﹣EFH的体积等于,求a的值.
参考答案:
(1)见解析;(2)a=2
【分析】
(1)分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC,再由EF∩EH=E,即可证明结论;
(2)根据条件求出AH,DH=PH=CH,然后证明PH⊥平面ABCH,又点F为AP的中点,则S△PEF=S△AEF,故VH-PEF=VH-AEF,则,据此计算求解即可.
【详解】(1)证明:菱形ABCD中,∵E,H分别为AB,CD的中点,∴BE∥CH,BE=CH,
∴四边形BCHE为平行四边形,则BC∥EH,又EH?平面PBC,∴EH∥平面PBC,
又点E,F分别为AB,AP的中点,则EF∥BP,又EF?平面PBC,∴EF∥平面PBC,
由EF∩EH=E,∴平面EFH∥平面PBC;
(2)在菱形ABCD中,∠D=60°,则△ACD为正三角形,
∴AH⊥CD,AH,DH=PH=CH,
折叠后,PH⊥AH,又平面PHA⊥平面ABCH,平面PHA∩平面ABCH=AH,从而PH⊥平面ABCH.
在△PAE中,点F为AP的中点,则S△PEF=S△AEF,∴VH-PEF=VH-AEF,
而VH-PEF+VH-AEF=VH-PAE,
∴
,
∴a3=8,即a=2.故a=2.
【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题,面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线,它们都平行于另一个平面,属中档题.
21. (本小题满分12分)设, .
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
(Ⅲ)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,,,,,
所以曲线在处的切线方程为; 2分
(Ⅱ)存在,使得成立 等价于:,
考察, ,
递减
极小值
递增
由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数; 7分
22. 设向量
(1)若求x的值;
(2)设函数,求的最大值.