山西省临汾市汾河中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,,,则
. . .
参考答案:
B
略
2. 抛物线的焦点坐标是( )
A.(4,0) B.(- 4,0) C.(2,0) D.(- 2,0)
参考答案:
D
3. 下列命题中的假命题是( )
A., B. ,
C. , D. ,
参考答案:
B
略
4. 已知定义在R上的函数的导函数的大致图象如图所示,则下列结论一定正确的是
A. B. ks5u
C. D.
参考答案:
C
5. 如图所示,某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛.顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆,则底层的花盆的个数是( )
A.91 B.127 C.169 D.255
参考答案:
B
6. x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是 ( )
A.-<x<3 B.-<x<0 C.-3<x< D.-1<x<6
参考答案:
D
略
7. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92
参考答案:
A
略
8. 某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务,则所选的4人中至少有一名女生的选法为( )
A.14 B.8 C.6 D.4
参考答案:
A
9. 某同学每次投篮命中的概率为,那么他3次投篮中恰有2次命中的的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,那么该三棱锥的体积等于( )
A. cm3B.2cm3C.3cm3D.9cm3
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】该三棱锥高为3,底面为直角三角形.
【解答】解:由三视图可知,该三棱锥的底面为直角三角形,两个侧面和底面两两垂直,
∴V=××3×1×3=.
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线与双曲线没有公共点,则实数的取值范围为____________.
参考答案:
略
12. 已知数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),则a1= .
参考答案:
2
【考点】数列递推式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】利用递推公式,结合递推思想求解.
【解答】解:∵数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),
∴a2=×(5+1)=3.
a1==2.
故答案为:2.
【点评】本题考查数列的第3项的求法,是基础题,解题时要注意递推思想的合理运用.
13. 命题“若,则”的逆否命题是 .
参考答案:
若,则
14. 已知是定义在上的奇函数,且.当时,,则________.
参考答案:
-3
f(7)=f(3+4)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3.
15. 函数的单调减区间为 ;
参考答案:
16. 已知a>0,b>0,m=lg,n=lg,则m与n的大小关系为___▲_____;
参考答案:
略
17. 已知点,,直线上有两个动点M,N,始终使,三角形的外心轨迹为曲线C,P为曲线C在一象限内的动点,设,,,则( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
C
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2015春?南昌校级期末)设函数f(x)=ax2+(b﹣2)x+3(a≠0)
(1)若不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).求a,b的值;
(2)若f(1)=2,a>0,b>0求的最小值.
参考答案:
9
考点: 一元二次不等式的解法;基本不等式.
分析: (1)由不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).﹣1,3是方程f(x)=0的两根,由根与系数的关系可求a,b值;
解答: 解:(1)由f(x)<0的解集是(﹣1,3)知﹣1,3是方程f(x)=0的两根,由根与系数的关系可得,解得
(2)f(1)=2得a+b=1,
∵a>0,b>0
∴(a+b)()=5+=5+2≥9
∴的最小值是9
点评: 此题考查了不等式的解法,属于基础题
19. 已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),求:
(Ⅰ)当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
(Ⅱ)当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
参考答案:
略
20. (10分)三个不同的数成等差数列,其和为6,如果将此三个数重新排列,他们又可以成等比数列,求这个等差数列。
参考答案:
,2,8或8,2,
21. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积的最大值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;
(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.
∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.
将y=x代入可得,
因此,解得a=2.
则b=1.
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),
则B(﹣x1,﹣y1).
∵直线AB的斜率,
又AB⊥AD,
∴直线AD的斜率.
设AD方程为y=kx+m,
由题意知k≠0,m≠0.
联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
∴.
因此.
由题意可得.
∴直线BD的方程为.
令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).
可得.
∴,即.
因此存在常数使得结论成立.
(ii)直线BD方程为,
令x=0,得,即N().
由(i)知M(3x1,0),
可得△OMN的面积为S==.
当且仅当时等号成立.
∴△OMN面积的最大值为.
【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.
22. 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2(an﹣n),n∈N+*.
(1)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【专题】证明题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(1)由Sn=2(an﹣n)=2an﹣2n,n∈N+*,得Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n﹣1),n≥2,从而an+2=2(an﹣1+2),n≥2,由此能证明{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列,并能求出{an}的通项公式.
(2)由bn==n+1,得==,由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和.
【解答】证明:(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2(an﹣n)=2an﹣2n,n∈N+*,
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n﹣1),n≥2,
∴Sn﹣Sn﹣1=an=2an﹣2an﹣1﹣2,n≥2,
∴an+2=2(an﹣1+2),n≥2,
当n=1时,S1=2a1﹣2=a1,解得a1=2,a1+2=4,
∴{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
∴,
∴.
(2)∵bn==n+1,
∴==,
∴数列{}的前n项和:
Tn=
=.
【点评】本题考查等比数列的证明和数列的通项公式及前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法和裂项求和法的合理运用.