2022-2023学年湖南省衡阳市市第二中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线按向量平移后得到的直线与曲线相切,则为( )
(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(0,2) (D)(2,0)
参考答案:
A
2. 已知是函数的零点,,则
①;②;③;④
其中正确的命题是( )
(A)①④ (B)②④ (C)①③ (D)②③
参考答案:
A
略
3. 若向量||=2sin15°与||=4sin75°,与的夹角为30°,则?等于( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
A
考点:平面向量数量积的运算.
专题:平面向量及应用.
分析:直接由已知结合向量数量积的运算求得答案.
解:∵||=2sin15°,||=4sin75°,且与的夹角为30°,
则?==2sin15°×4sin75°×cos30°
=4×sin30°×cos30°=2sin60°=2×=.
故选:A.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查二倍角公式的应用,是基础的计算题.
4. 函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的定义域是( )
A.[﹣3,1] B.(﹣3,1) C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
参考答案:
D
【考点】74:一元二次不等式的解法;4K:对数函数的定义域.
【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域.
【解答】解:由题意得:x2+2x﹣3>0,即(x﹣1)(x+3)>0
解得x>1或x<﹣3
所以定义域为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
故选D.
5. 某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )种
A. 30 B. 60 C 48 D 52
参考答案:
A
6.
一动圆过点A (0,),圆心在抛物线y =x2上,且恒与定直线l相切,则直线l的方程为( )
A.x = B.x = C.y =- D.y =-
参考答案:
答案:D
7. 把函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于
轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知函数f(x)=+a,若f(x)是奇函数,则a=( )
A.0 B. C. D.
参考答案:
B
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据奇函数的定义f(x)+f(﹣x)=0,x=1,特殊值求解即可.
解答: 解:∵函数f(x)=+a,f(x)是奇函数,
∴f(1)+f(﹣1)=0,
即++a=0,
2a=1,a=,
故选:B
点评: 本题考查了奇函数的定义性质,难度很小,属于容易题.
9. 执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. (5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( )
A. α∥β且l∥α B. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交,且交线垂直于l D. α与β相交,且交线平行于l
参考答案:
D
【考点】: 平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论.
【专题】: 空间位置关系与距离.
【分析】: 由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论.
解:由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l?α,所以l∥α,
又n⊥平面β,l⊥n,l?β,所以l∥β.
由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,
与m,n异面矛盾.
故α与β相交,且交线平行于l.
故选D.
【点评】: 本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,靠考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知变量x,y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为 。
参考答案:
略
12. 设函数______.
参考答案:
令得,即。令得。令得。
13. 已知关于的方程的两个实根分别为,且,则的取值范围是
参考答案:
14. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果n= .
参考答案:
9
模拟程序的运行,可得,,第一次执行循环,,,不满足,则返回继续循环;,,不满足,则返回继续循环;,,不满足,则返回继续循环;
当时,,则,,最小值为,此时.
故答案为.
15. 设是函数的两个极值点,若,则实数a的
取值范围是_____
参考答案:
略
16. 已知若f(x)=2,则x=________.
参考答案:
-1或
17. 若函数对于任意的、,当时,恒有成立,则的取值范围是: ;
参考答案:
因为当时,恒有成立,所以函数在内单调递减,令,易知函数在在内单调递减,,所以函数单调递增,所以……………………①,又由题意知函数的定义域为R,所以…………………………②
由①②知:的取值范围是。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)
已知数列满足,且,为的前项和.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)如果对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)根据已知条件变形可得,根据等比数列的定义可知数列为等比数列.从而可得.(Ⅱ)根据等比数列的前项和先求.再将变形恒成立. 令,讨论的单调性求其最大值.只需即可.
试题解析:解:(I)由题意得
则成等比数列,首项为,公比为 ………………………4分
故 …………………………6分
考点:1构造法求数列的通项公式;2等比数列的前项和.
19. (本小题满分12分)已知、,圆:,一动圆在轴右侧与轴相切,同时与圆相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线,曲线是以,为焦点的椭圆.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线与曲线相交于第一象限点,且,求曲线的标准方程;
(3)在(1)、(2)的条件下,直线与椭圆相交于,两点,若的中点在曲线上,求直线的斜率的取值范围.
参考答案:
20. (12分)如图,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.
D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(1)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值;
(2)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由.
参考答案:
解析:解法一:(1)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,连结BM
∵BC⊥平面ACC-1A1 ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
, 余弦值为 …………6分
(2)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点,证明如下:
∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC
∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD
∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一 …………12分
解法二:(1)∵A1B1C1—ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立坐标系得
C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A-1(0,2,2)
D(0,0,1) E(1,0,2)
设平面A1BD的法向量为n=(1,)
平面ACC1A1-的法向量为=(1,0,0)
(2)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,当且仅当//
∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点
21. 设函数=,∈R,为自然对数的底数, ,如果对任意的∈(0,3],恒有≤4成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(x)= ()(2ln x+1-).
当时,对于任意的实数a,恒有成立;
当,由题意,首先有,
解得,
,∵
∴,,
且=。
又在(0,+∞)内单调递增,所以函数在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为,则,。从而,当时,;当时,;当时,,即在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。所以要使对恒成立,
只要成立。,ks5u
知③,将③代入①得,又,注意到函数在[1,+∞)内单调递增,故。再由③以及函数2xlnx+x在(1,+∞)内单调递增,可得。由②解得,。所以
综上,a的取值范围为。
22. 如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A、B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C﹣ADE体积最大时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
参考答案:
【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此证明DE⊥平面ACD,从而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC…,
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…,
∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…
∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四边形,BC∥DE,
∴DE⊥平面ACD…,
∵DE?平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD…
(Ⅱ)依题意,…,
由(Ⅰ)知
=
=
,
当且仅当时等号成立 …
如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,1),, ,
∴,,
,…
设面DAE的法向量为,
,即,∴,…
设面ABE的法向量为,
,即,∴,
∴…
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补,
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为. …