2022-2023学年辽宁省沈阳市白塔中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC为等边三角形,那么命题p是命题q的( )
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
参考答案:
答案:C
2. 变量、满足条件 ,则的最小值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={y|y=2x},则A∩B=( )
A.(0,2]. B.(0,1]. C.(﹣1,0] D.(0,4]
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】求解一元二次不等式化简A,求函数的值域化简B,取交集得答案.
【解答】解:由x2﹣x﹣2≤0,得﹣1≤x≤2,
∴A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1,2],又B={y|y=2x}=(0,+∞),
∴A∩B=(0,2].
故选:A.
【点评】本题考查交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,考查了函数值域的求法,是基础题.
4. 已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
5. 函数f(x)=2sin(x+)cos(x﹣)﹣在y轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于( )
A.π B.2π C.3π D.4π
参考答案:
A
考点:二倍角的正弦;正弦函数的图象.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,继而令f(x)=0,求得x的值的集合,进而求得P2和P4,则答案可求.
解答: 解:f(x)=2sin(x+)cos(x﹣)﹣=2(sinx+cosx)(sinx+cosx)﹣=1+2sinxcosx﹣=sin2x+,
令f(x)=0,即sin2x+=0,
sin2x=﹣,解得 2x=2kπ﹣,或 2x=2kπ﹣,k∈z,
即 x=kπ﹣,或 x=kπ﹣,k∈z.
故P1、P2、…、Pn…的横坐标分别为、、、、…
∴|P2P4|=π.
故选A.
点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象与性质.考查了学生基础知识的综合运用.
6. 函数,已知在时取得极值,则=
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
7. 已知S—ABC是正四面体,M为AB的中点,则SM与BC所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 函数的零点个数是( )
(A)0 (B)l (C)2 (D)4
参考答案:
C
略
9. 若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是
A. B. C. D.π
参考答案:
C
因为 ,
所以由 得
因此 ,从而最大值为 ,选A.
10. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的x=0,则一开始输入的x的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,且,则向量与向量的夹角是 .
参考答案:
12. 已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,,且,则△ABC周长的最小值为_____。
参考答案:
【分析】
化简,求得角的大小,用三角形的面积公式列式,然后利用基本不等式求得周长的最小值.
【详解】由得,故.由三角形面积公式得.所以三角形的周长,当且仅当时,等号成立.故周长的最小值为.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查利用基本不等式求最小值,属于中档题.
13. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为 .
参考答案:
【考点】轨迹方程;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,设出动点的坐标,利用向量的坐标公式求出向量坐标,利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程,得到P的轨迹是底面圆的弦,利用勾股定理求出弦长.
【解答】解:以AB所在直线为x轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,﹣1,0),B(0,1,0),,,设P(x,y,0).于是有.
由于AM⊥MP,
所以,
即,此为P点形成的轨迹方程,
其在底面圆盘内的长度为
故答案为
【点评】本题考查通过建立坐标系,将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法.
14. 函数,则_______________。
参考答案:
略
15. 如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,PC=_____________
参考答案:
16. 直线与圆相交的弦长为
参考答案:
17. [x]为不超过实数x的最大整数,若数列=3[]的前n项和为,则S2014=
A.2001 B.2002
C.2013 D.2014
参考答案:
A
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)
已知函数的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为
(I)求函数的单凋递增区间;
(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是,求角B的大小.
参考答案:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
在中,因为
所以 7分
所以
因为,所以. 9分
因为,根据据正弦定理,有, 10分
所以,所以, 11分
因为,所以,所以, 12分
所以. 13分
19. 已知命题p:方程x2﹣(2+a)x+2a=0在上有且仅有一解;命题q:存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立,若命题“¬p且q”是真命题,求a的取值范围.
参考答案:
解:①若命题p为真,由x2﹣(2+a)x+2a=0得(x﹣2)(x﹣a)=0,解得x=2或x=a,
又∵方程x2﹣(2+a)x+2a=0,在上有且仅有一解,∴﹣≤a≤1.
②若命题q为真,即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0
∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2,
因为命题“¬p且q”是真命题,所以,命题p是假命题、命题q是真命题,
当命题p为假时,a<﹣1或a>1,
当命题q为真时,a≤0或a≥2,
因此,实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪
A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件,
则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P(A)=0.6(0.3+0.2)+0.4×0.2=0.38.
(2)记在一轮比赛中,“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B,
“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C,
则B与C相互独立,且P(B)=0.2×0.6=0.12,P(C)=0.3×0.6=0.18.
所以在一轮比赛中,甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为:
P()P()=
=0.88×0.82=0.7216.
考点:复合命题的真假;一元二次不等式.
专题:计算题;判别式法;简易逻辑.
分析:先通过因式分解求出方程x2﹣(2+a)x+2a=0的根,再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解,最后根据复合命题真假求出a的取值范围.
解答:解:①若命题p为真,由x2﹣(2+a)x+2a=0得(x﹣2)(x﹣a)=0,解得x=2或x=a,
又∵方程x2﹣(2+a)x+2a=0,在上有且仅有一解,∴﹣≤a≤1.
②若命题q为真,即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0
∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2,
因为命题“¬p且q”是真命题,所以,命题p是假命题、命题q是真命题,
当命题p为假时,a<﹣1或a>1,
当命题q为真时,a≤0或a≥2,
因此,实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪
A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件,
则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P(A)=0.6(0.3+0.2)+0.4×0.2=0.38.
(2)记在一轮比赛中,“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B,
“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C,
则B与C相互独立,且P(B)=0.2×0.6=0.12,P(C)=0.3×0.6=0.18.
所以在一轮比赛中,甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为:
P()P()=
=0.88×0.82=0.7216.
点评:本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意互斥事件的概率和对立事件的概率的计算公式的合理运用.
20. 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,.
(1)求四棱锥A1-ABCD的体积;
(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小.
参考答案:
(1)4;(2).
【分析】
(1)四棱锥A1﹣ABCD的体积,由此能求出结果.
(2)由DD1∥CC1,知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小.
【详解】(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积:
===4.
(2)∵DD1∥CC1,∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角补角),
∵tan∠A1CC1===,
∴=.
∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为;
【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注空间思维能力的培养.
21. 某机床厂用98万元购进一台数控机床,第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,从第一年开始每年的收入均为50万元.设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;并求第几年开始,该机床开始盈利;
(2)问哪一年平均盈利额最大、最大值是多少?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)第x年所需维修、保养费用为12+4(x﹣1),故y与x之间的函数关系为y=50x﹣x(12+4x+8)﹣98,x∈N+.可知当y>0时,开始盈利,解不等式﹣2x2+40x﹣98>0求得x的范围,从而得到结论;
(2)化简=40﹣(x+),再利用基本不等式求最值即可.
【解答】解:(1)第二年所需维修、保养费用为12+4万元,
第x