2022年广西壮族自治区桂林市两河中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时, 若关于的方程 (),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.或
参考答案:
C
3. 设全集为R,集合,,则
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解:由题意可得:,
结合交集的定义可得:.
本题选择B选项.
4. 已知命题:、为直线,为平面,若∥,,则∥;
命题:若>,则>,则下列命题为真命题的是( )
A. 或 B. 或 C. 且 D. 且
参考答案:
B
若∥,,则∥,也可能,所以命题是假命题;
若>,当时,;当时,,所以命题也是假命题,
综上所述,或为假命题;或为真命题;且为假命题;且为假命题,故选择B。
5. 已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 已知两个随机变量x,y之间的相关关系如表所示:
x
﹣4
﹣2
1
2
4
y
﹣5
﹣3
﹣1
﹣0.5
1
根据上述数据得到的回归方程为=x+,则大致可以判断( )
A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【分析】利用公式求出,,即可得出结论.
【解答】解:样本平均数=0.2, =﹣1.7,
∴==>0,
∴=﹣1.7﹣×0.2<0,
故选:C.
【点评】本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,属于基础题.
7. 圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为( )
A.(x﹣1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据题意设圆方程为x2+(y﹣1)2=r2,由圆心到直线的距离得到半径r,代入即可得到所求圆的方程
【解答】解:设圆方程为x2+(y﹣1)2=r2,∵直线y=2与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径r,∴r=1
故圆的方程为:x2+(y﹣1)2=1,故选:C
8. 方程满足且,
则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
9. 已知函数满足, 当时,,若在区间内,曲线与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 在等差数列{an}中,a1=﹣2011,其前n项的和为Sn.若﹣=2,则S2011=( )
A.﹣2010 B.2010 C.2011 D.﹣2011
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】Sn是等差数列的前n项和,可得数列是首项为a1的等差数列,利用通项公式即可得出.
【解答】解:∵Sn是等差数列的前n项和,∴数列是首项为a1的等差数列;
由﹣=2,则该数列公差为1,
∴=﹣2011+=﹣1,
∴S2011=﹣2011.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程的不同非零整数解的个数为 。
参考答案:
。
解析:利用,原方程
等价于
。
方程两端同除,整理后得。再同除,得
。
即,从而有。
经验证均是原方程的根,所以原方程共有个整数根。
12. 若实数、满足,则的取值范围是
参考答案:
略
13. a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,那么a、b、c 的大小关系是 .
参考答案:
b<a<c
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题;函数思想.
【分析】根据对数函数的图象和性质,易知0<log0.70.8<1,log1.10.9<0,由指数函数的图象和性质,易知1.10.9>1,得到结论.
【解答】解:根据对数函数y=log0.7x,y=log1.1x的图象和性质,
可知0<log0.70.8<1,log1.10.9<0
由指数函数y=1.1x的图象和性质,
可知c=1.10.9>1
∴b<a<c
故答案为:b<a<c
【点评】本题主要考查数的大小比较,一般来讲是要转化为函数应用函数的单调性和图象分布来解决.
14. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于_______.
参考答案:
双曲线的渐近线为。的倾斜角为,所以两条渐近线的夹角为。
【答案】
【解析】
15. 已知为正数,实数满足,若的最大值为,则__________.
参考答案:
略
16. 已知直角三角形ABC中,直角边AC=6,点D是边AC上一定点,CD=2,点P是斜边AB上一动点,CP⊥BD,则△APC面积的最大值是 ▲ ;线段DP长度的最小值是 ▲ .
参考答案:
;
17. 设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值范围为_____________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 【本题14分】某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每件产品的售价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
参考答案:
①当2≤a≤4时,33≤31+a≤35,而35≤x≤41,
∴L¢(x)≤0,L(x)在[35,41]上是单调递减函数.
则当x=35时,L(x)取得最大值为10(5-a)e5. ························9¢
②当4<a≤5时,35<31+a≤36,令L¢(x)=0,得x=a+31.
当x∈[35,a+31)时,L¢(x)>0,L(x)在[35,a+31)上是单调递增函数;
当x∈(a+31,41]时,L¢(x)<0,L(x)在(a+31,41]上是单调递减函数.
∴当x=a+31时,L(x)取得最大值为10e9?a. ························13¢
综上,当2≤a≤4时,L(x)max=10(5-a)e5.
当4<a≤5时,L(x)max=10e9?a. ··················14¢
19. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式存在实数解,求实数的取值范围.
参考答案:
略
20. [选修4-5:不等式选讲]
已知函数.若函数的最小值为m,正实数a,b满足,求的最小值,并求出此时a,b的值.
参考答案:
解:依题意,,
当时,函数有最小值10,故,
故,
当且仅当时等号成立,此时,.
21. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆与两点,若,求证:.
参考答案:
(1)设椭圆的方程为
由椭圆过点得:
解得
椭圆的方程为
(2)设由
消去整理得,由韦达定理得,则
由两边平方整理可得
只需证明
而
故恒成立
22. 已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与正半轴重合,且长度单位相同,直线的极坐标方程为,
点,(为参数).
(1)求点轨迹的直角坐标方程;
(2)求点到直线距离的最大值.
参考答案:
(1)设点,则,
消去参数得点的轨迹方程:; …………5分
(2)由得,
所以直线的直角坐标方程为; …………7分
由于的轨迹为圆,圆心到直线距离为,
由数形结合得点到直线距离的最大值为. …………10分