2022年江苏省常州市第四中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量a,b,c满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 给定命题:若,则;命题:已知非零向量则 “”是“”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
3. 执行如图所示的程序框图,任意输入一次 与
,则能输出数对(x,y)的概率为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且在第一象限内相交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为,.若,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
设共同的焦点为,,设,,运用椭圆和双曲线的定义,以及三角形的余弦定理和基本不等式,即可得到所求最小值.
【详解】解:设共同的焦点为,,
设,,
由椭圆和双曲线的定义可得,,
解得,,
在中,,
可得,
即为,
即有,
即为,
由,
可得,当且仅当时,取得最小值,
故选:C.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
5. 已知集合A={﹣1,0,1},B={y|y=πx,x∈A},则A∩B=( )
A.{﹣1} B.{0} C.{1} D.{0,1}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【分析】根据集合A求得集合B,再根据两个集合的交集的定义求得A∩B.
【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={y|y=πx,x∈A}={,1,π},
∴A∩B={1},
故选:C.
6. 在△ABC中,,,则角C=( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
D
在中,因为,所以,所以,即,因为,所以,所以由正弦定理得,联立两式可得,即,,所以,所以,所以,故选D.
7. (5分)如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】: 双曲线的简单性质.
【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理,即可得出结论.
解:因为∠PAQ=60°且=3,
所以△QAP为等边三角形,
设AQ=2R,则OP=R,
渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=
由勾股定理可得(2R)2﹣R2=()2,
所以(ab)2=3R2(a2+b2)①
在△OQA中,=,所以7R2=a2②
①②结合c2=a2+b2,可得=.
故选:B.
【点评】: 本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
8. 等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9 则a1a6的值为( )
A.14 B.18 C.21 D.27
参考答案:
A
【考点】等差数列的性质.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,解方程可求a1,d,即可求解a1a6
【解答】解:由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3
解方程可得,a1=2,d=1
∴a1a6=2×7=14
故选:A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于基础试题
9. “命题p或q为真”是“命题p且q”为真的( )条件
A.充分 B.必要 C.充要 D.既不充分也不必要
参考答案:
B
10. 已知点表示N除以m余n,例如,,则如图所示的程序框图的功能是( )
A. 求被5除余1且被7除余3的最小正整数
B.求被7除余1且被5除余3的最小正整数
C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数
D.求被7除余1且被5除余3的最小正奇数
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,函数()的图像的两个端点分别为、,设是函数图像上任意一点,过作垂直于轴的直线,且与线段交于点,若恒成立,则的最大值是_________________.
参考答案:
【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程;
方程与代数/不等式/基本不等式.
【试题分析】如图,设由题意得,,,所以直线的方程为,化为一般式方程为,所以, 所以
,当且仅当,即时取等号,因为恒成立,所以,,所以的最大值为,故答案为.
图 cna2
12. 如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心,若PA=3,AB=1,PO=4,则⊙O的半径为 。
参考答案:
2
13. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2.则函数f(x)=(1⊕x)·x-(2⊕x)(x∈[-2,2])的最大值等于________.(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法)
参考答案:
6
由定义知,,f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以f(x)的最大值为6.
14. 若?{x|x2≤a,a∈R},则实数a的取值范围是________.
参考答案:
a≥0
15. (04年全国卷IV理)函数的最大值等于 .
参考答案:
答案:
16. 有下列命题:①圆与直线,相交;
②过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|= 8
③已知动点C满足则C点的轨迹是椭圆;
其中正确命题的序号是___ _____
参考答案:
②
17. 如图,直角三角形OAC所在平面与平面交于OC,平面P平面,为直角,,B为OC的中点,且,平面内一动点满足,则的取值范围是________.
参考答案:
【分析】
根据题意建立空间直角坐标系,表示出各点坐标,利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数,求出二次函数在某区间上求值域即可。
【详解】在直角三角形中,过点作边上的高交于,
直角三角形所在平面与平面交于,平面平面,
平面,
在平面内过点作边的垂线,所以,,,
以为原点,为轴,为轴, 为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
为直角,,为的中点,且,
,, ,,
,,,,,,
,,,
又 ,则 ,即,
化简即可得到: ,由于,则 ,所以 ,
,
把 代入即可得到:,
当,的范围为 ,所以的取值范围是,
故答案为。
【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用,解题的关键是建立空间直角坐标系,求出各点坐标,表示出题目所求即可。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设.
(Ⅰ)若,讨论的单调性;
(Ⅱ)时,有极值,证明:当时,
参考答案:
19. (12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
参考答案:
略
20. 设函数
(Ⅰ)当a=-5时,求函数f(x)的定义域;
(II)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
参考答案:
略
21. 已知函数 .
(I)若a=1,求函数f(x)在[m,m+l]上的最大值;
(Ⅱ)当l≤a≤e+l时,求证:
参考答案:
略
22. 已知定义在R上的二次函数满足,且的最小值为0,函数,又函数。
(I)求的单调区间;
(II)当≤时,若,求的最小值;
(III)若二次函数图象过(4,2)点,对于给定的函数图象上的点A(),当时,探求函数图象上是否存在点B()(),使A、B连线平行于x轴,并说明理由。
(参考数据:e=2.71828…)
参考答案:
解:(I)
可得
又在x=0时取得最小值0,
令
当x变化时,,的变化情况如下表:
(0,)
(,+)
+
0
-
增函数
极大值
减函数
所以,的单调递增区间是(0,),的单调递减区间是(,+)。
…………………………………………5分
(II)≤时,≥1,
时,的最小值为与中的较小者. ……………………7分
又
≤时,的最小值;
当时, 的最小值 ……………………9分
(III)证明:若二次函数图象过(4,2)点,则,所以
令
由(I)知在(0,2)内单调递增,
故 …………………………………………11分
取则
所以存在
即存在
所以函数图象上存在点B()(),使A、B连线平行于x轴.
………………………………………………14分