福建省厦门市禾山中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(﹣1)=( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1),即可求得答案.
【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,
∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,
故选A.
2. 已知向量a=(l,n),b=(-l,n),若2a-b与b垂直,则 等于 ( )
A.1 B. C.2 D.4
参考答案:
C
3. 若直线经过两点A(m,2),B(﹣m,2m﹣1)且倾斜角为45°,则m的值为( )
A. B.1 C.2 D.
参考答案:
A
【考点】直线的倾斜角.
【分析】由两点坐标求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得m的值.
【解答】解:经过两点A(m,2),B(﹣m,2m﹣1)的直线的斜率为k=.
又直线的倾斜角为45°,
∴=tan45°=1,即m=.
故选:A.
【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线倾斜角与斜率的关系,是基础题.
4. 如图,F1,F2是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C. D.
参考答案:
B
设 ;
因此 ;
选B.
5. 已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g(f(x))=x的解集为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
A.{1} B.{2} C.{3} D.?
参考答案:
C
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验,通过排除与筛选,得到正确答案.
【解答】解:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不合题意.
当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不合题意.
当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.
故选C.
【点评】本题考查函数定义域、值域的求法.
7. 函数,有零点,则m的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
8. 等差数列各项均为正数,且,则公差( )
A.2 B.5 C.3 D.1
参考答案:
C
9. 函数的图象恒过定点 ( )
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0)
参考答案:
A
10. 定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2017x+log2017x,则在R上,函数f(x)零点的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】x>0时,求f′(x),并容易判断出f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是单调函数.然后判断有没有x1,x2使得f(x1)f(x2)<0:分别取x=2017﹣2017,1,便可判断f(2017﹣2017)<0,f(1)>0,从而得到f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数的对称性便得到f(x)在(﹣∞,0)上有一个零点,而因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,这样便得到在R上f(x)零点个数为3.
【解答】解:x>0时,f′(x)=2017xln2017+>0;
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
取x=2017﹣2017,则f(2017﹣2017)=﹣2017;
∴<2017;
∴f(2017﹣2017)<0,又f(1)=2017>0;
∴f(x)在(0,+∞)上有一个零点,
根据奇函数关于原点对称,
f(x)在(﹣∞,0)也有一个零点;
又f(0)=0;
∴函数f(x)在R上有3个零点.
故选:C.
【点评】考查奇函数的概念,函数导数符号和函数单调性的关系,函数零点的概念,以及判断函数在一区间上有没有零点,以及有几个零点的方法,奇函数图象关于原点的对称性.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 .
参考答案:
(1,)
【考点】二次函数的性质.
【专题】作图题;压轴题;数形结合.
【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象,观察求解.
【解答】解:如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a,
观图可知,a的取值必须满足,
解得.
故答案为:(1,)
【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
12. 函数的定义域为,若且时总有,则称 为函数,例如,一次函数是函数.下有命题:
① 幂函数是函数;
② 指数函数是函数;
③ 若为函数,且,则;
④ 在定义域上具有单调性的函数一定是函数.
其中,真命题是 .(写出所有真命题的编号)
参考答案:
②③④
13. 已知集合,集合,且,则实数的值为________.
参考答案:
0,2
14. 如图所示,设为内的两点,且
则的面积与的面积之比为______________.
参考答案:
略
15. ;(2);; (4),其中正确的结论是
参考答案:
(2)(3)
略
16. 设,则= .
参考答案:
略
17. 已知函数的定义域为 ,则函数的定义域为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)已知,,求;
(2)已知,.
(i)求sinx的值;
(ii)求的值.
参考答案:
(1);(2)(i);(ii).
【分析】
(1)令,则,利用二倍角的正弦和余弦公式可求的值,再利用两角和的正弦可求的值.
(2)(i)把看成,利用两角和的正弦可求的值;(ii)求出后利用二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦可求的值.
【详解】(1)令,则,
所以
,
又,而,故,
所以,所以
.
(2)(i),
因为,所以,
所以,所以.
(ii)因为,,故,
所以,.
而
.
【点睛】三角函数中的化简求值问题,我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析,处理次数差异的方法是升幂降幂法,解决函数名差异的方法是弦切互化,而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等,最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
19. (本小题满分12分)某工厂要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为8,最大装水量为72,池底和池壁的造价分别为元、元,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才能使水池的总造价最低?最低造价是多少?
参考答案:
设池底一边长为,水池的高为,则总造价为z
当且仅当即时,总造价最低,
答:将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为时,总造价最低,最低造价为114a元。
20. 已知,,,,求的值.
参考答案:
略
21. 如图,在六面体中,,,.
求证:(1);(2).
参考答案:
证明:
(1)取线段的中点,连结、,
因为,,
所以,.……………4分
又,平面,
所以平面.
而平面,
所以.……………………8分
(2)因为,
平面,平面,
所以平面.……………10分
又平面,平面平面,…13分
所以.同理得,
所以.…………………………………………16分
22. 已知是二次函数且,求。(10分)
参考答案:
解:设二次函数