广西壮族自治区桂林市保宁中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的虚部为( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
参考答案:
D
【分析】
根据复数虚部定义直接求出的虚部.
【详解】由复数虚部定义可知虚部为-1,故本题选D.
【点睛】本题考查了复数的虚部定义,准确掌握复数的虚部定义是解题的关键.
2. 若函数有极值点,且,若关于的方程
的不同实数根的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案:
A
3. 已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或 B.或
C.或 D.
参考答案:
B
略
4. 数列{an}为等比数列,若a3=﹣3,a4=6,则a6=( )
A.﹣24 B.12 C.18 D.24
参考答案:
D
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a3=﹣3,a4=6,
∴q==﹣2,
则a6==6×(﹣2)2=24.
故选:D.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5. 不等式|x-1|﹥2的解集是( )
A.(-1,3〕 B.(-∞,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)
参考答案:
C
略
6. 已知二次函数的导数为,,对于任意实数,有,则的最小值为…………………………………( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知直线y=2(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(﹣1,m),若?=0,则m=( )
A. B. C. D.0
参考答案:
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】直接利用直线方程与抛物线方程联立方程组求出AB坐标,通过数量积求解m即可.
【解答】解:由题意可得:,8x2﹣20x+8=0,解得x=2或x=,
则A(2,2)、B(,).
点M(﹣1,m),若?=0,
可得(3,2m)(,﹣)=0.
化简2m2﹣2m+1=0,解得m=.
故选:B.
8. 过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零,四个选项只有A符合,故选A.
考点:1、函数的单调性与导数的关系;2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.
10. 的值为( )
A. 0 B. 1024 C. -1024 D. -10241
参考答案:
A
【分析】
利用二项式定理展开再化简即得解.
【详解】由题得原式=
=
=
=
=0.
故选:A
【点睛】本题主要考查二项式定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将直线l1:nx+y-n=0、l2:x+ny-n=0(n∈N*,n≥2)与x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn,则Sn的最小值为________.
参考答案:
12. 一物体在力(单位:)的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到 (单位:)处,则力做的功为 焦.
参考答案:
36
略
13. 半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(r2)`=2r ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,类比以上结论,请你写出类似于①的式子: ②,②式可以用语言叙述为: 。
参考答案:
,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”
14. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,若||PA|﹣|PB||=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若,则动点P的轨迹为椭圆;
③抛物线的焦点坐标是;
④曲线与曲线(<35且≠10)有相同的焦点.
其中真命题的序号为___________。
参考答案:
③④
略
15. 将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共 种
参考答案:
420
16. 若点P(2,1)是直线夹在两坐标轴之间的线段的中点,则此直线的方程是______.
参考答案:
17. 以的直角边为直径作圆,圆与斜边交于,过作圆的切线与交于,若,,则=_________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x2+ax﹣2lnx(a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递减,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间和极值即可;
(2)问题转化为在区间(0,2]上恒成立,设,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【解答】解:(1).
当a=1时,,定义域为(0,+∞).
其导函数为
令f'(x)>0可得:x>1;
令f'(x)<0可得:0<x<1.
故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),
f(x)的极小值为,无极大值.
(2)f(x)的导函数为,
由函数f(x)在区间(0,2]上为减函数可得:
f'(x)≤0即x2+ax﹣2≤0在区间(0,2]上恒成立,
即在区间(0,2]上恒成立,
设,可知y=g(x)在(0,2]上单调递减,
所以a≤gmin(x)=g(2)=﹣1.
故所求实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1].
19. 已知函数在处取得极值为
(1)求a、b的值;
(2)若有极大值28,求在上的最大值和最小值.
参考答案:
(Ⅰ)因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ,
化简得解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
令 ,得当时,
故在上为增函数;
当 时, 故在 上为减函数
当 时 ,故在 上为增函数。
由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知得
此时,
因此 上的最小值为,最大值为f(-2)=28。
略
20. 已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.
(Ⅰ)讨论f(x)函数的单调性;
(Ⅱ)设f(x)的两个零点是x1,x2,求证:.
参考答案:
函数的定义域为,
,
①当时,,,则在上单调递增;
②当时,时,,时,,
则在上单调递增,在上单调递减.
首先易知,且在上单调递增,在上单调递减,
不妨设,
,
构造,
又
∴,∴,∴在上单调递增,
∴,即,
又,是函数的零点且,∴
而,均大于,所以,所以,得证.
21. (8分)三个数成等差数列,其比为,如果最小数加上,则三数成等比数列,求这三个数
参考答案:
22. 若双曲线的渐近线与圆相切,且实轴长为4,求双曲线方程.
参考答案:
由对称性可知,不妨设渐近线方程: ---------2分
则, ------------4分
所以,即
又因为,所以
所以双曲线方程为: -----------12分