福建省泉州市崇文中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如右图所示,若输出的S=57,则判断框内填
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 若向量,的夹角为,且|=2,||=1,则向量与向量+2的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】先计算,||,再利用夹角公式cosα=,可得结论.
【解答】解:设向量与向量的夹角等于α
∵向量,的夹角为,且,,
∴==4+2×2×1×cos=6,||===
∴cosα===
∵α∈[0,π]
∴α=
故选D.
3. 《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图. 若输出的 S的值为 360,则判断框中可以填( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
分析:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
详解:模拟程序的运行,可得
S=0,i=1
执行循环体,S=290,i=2
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
不满足判断框内的条件,执行循环体,
由题意,此时,应该满足判断框内的条件,退出循环,输出 的值为360.
可得判断框中的条件为.
故选:C.
点睛:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题
4. 已知i是虚数单位,复数(其中)是纯虚数,则m=
(A)-2 (B)2 (C) (D)
参考答案:
B
略
5. △ABC的三个内角A、B、C,所对的边分别是a、b、c,若a=2,c=2,tanA+tanB=﹣tanAtanB,则△ABC的面积S△ABC=( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】GR:两角和与差的正切函数.
【分析】由已知结合两角和的正确求得C,利用正弦定理求得A,则B可求,代入三角形面积公式得答案.
【解答】解:由tanA+tanB=﹣tanAtanB,得tanA+tanB=(1﹣tanAtanB),
∴tan(A+B)=,即tanC=﹣.
∵0<C<π,∴C=.
则sinC=.
由正弦定理可得:,得sinA=,∴A=.
则B=.
∴S△ABC=×=.
故选:C.
6. 若方程有正数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置p(x,y).若初始位置为P0(,),当秒针从P0 (注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A.y=sin() B.
C.y=sin(﹣) D.y=sin(﹣)
参考答案:
C
【考点】在实际问题中建立三角函数模型.
【分析】先确定函数的周期,再假设函数的解析式,进而可求函数的解析式.
【解答】解:由题意,函数的周期为T=60,∴ω=
设函数解析式为y=sin(﹣t+φ)(因为秒针是顺时针走动)
∵初始位置为P0(,),
∴t=0时,y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin(﹣t+)
故选C.
8. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
考点:由三视图求面积、体积.
专题:空间位置关系与距离.
分析:此几何体是底面积是S==1的三棱锥,与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为,即可得出.
解答:解:此几何体是底面积是S==1的三棱锥,与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为,
∴V==.
点评:本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式,属于基础题.
9. 设集合,则满足条件的集合的个数是 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
参考答案:
C
10. 若直线与曲线有交点,则( )
A.有最大值,最小值 B.有最大值,最小值
C.有最大值0,最小值 D.有最大值0,最小值
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______。
参考答案:
略
12. 已知为奇函数,当时,;当时,,若关于的不等式有解,则的取值范围为_____________________.
参考答案:
(-2,0)∪(0,+∞)
略
13. 若的值为____________.
参考答案:
80
14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
参考答案:
16;
15. 设x,y满足约束条件,向量,且a∥b,
则m的最小值为 .
参考答案:
16. 已知上的可导函数的导函数满足:,且则不等式的解是_____________.
参考答案:
略
17.
设的二项展开式中各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若h+t=272,则二项展开式为x2项的系数为 。
参考答案:
答案:1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分15分)(原创题)已知函数,
(Ⅰ)若对于定义域内的恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设有两个极值点,且,求证:
(Ⅲ)设若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1), -------------
设,
当时,,当时,
,--------------------------------------- 0.70
(2)
()----------------------------
解法(),,且 ()--
()---------------------------------------
设 ,
即------------------------------- 0.55
解法(),,且 ()--
---------------------------------------------------
由的极值点可得
------------------
(Ⅲ),
所以在上为增函数,,所以,得
,设 ()
,由在恒成立,
① 若,则所以在递减,此时不符合;
②时,,在递减,此时不符合;
③时,,若,则在区间)上递减,此时不符合;
综合得
即实数的取值范围为
19. 已知圆 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 相切,设点A为圆上一动点, 轴于点M,且动点N满足 ,设动点N的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(Ⅱ)直线与直线 垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)设动点,因为轴于,所以,
设圆的方程为,由题意得, 所以圆的程为.
由题意, ,所以,
所以即
20. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,且c=3.
(1)求角C;
(2)若向量与共线,求a、b的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦定理.
【专题】计算题.
【分析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin(2C﹣30°)=1,结合C的范围可求C
(2)由(1)C,可得A+B,结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0,利用两角差的正弦公式化简可求
【解答】解:(1)∵,
∴
∴sin(2C﹣30°)=1
∵0°<C<180°
∴C=60°
(2)由(1)可得A+B=120°
∵与共线,
∴sinB﹣2sinA=0
∴sin=2sinA
整理可得,即tanA=
∴A=30°,B=90°
∵c=3.
∴a=,b=2
【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用
21. (本小题满分12分)
某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课,每名学生必须且只需选修1门选修课,有3名学生A、B、C选修什么课相互独立.
(Ⅰ)求学生A、B、C中有且只有一人选修课程甲,无一人选修课程乙的概率;
(Ⅱ)求课程丙或丁被这3名学生选修的人数的数学期望.
参考答案:
解: (Ⅰ) 记“学生A、B、C中有一人选修课程甲,且无人选修课程乙”为事件R……(1分)
………………(5分)
答:学生A、B、C中有一人选修课程甲,且无一人选修课程乙的概率为. ………(6分)
(Ⅱ) 课程丙或丁被这3名学生选修的人数=0、1、2、3 …………(7分)
, ,
, . …(11分)
所以 (人). ………………(12分)
22. (本小题共14分)
如图,四边形是正方形,平面,//,,,为的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证://平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
参考答案:
(Ⅰ)证明:依题意,平面.
如图,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ……2分
依题意,可得,,,,,,.
因为,,
所以. ……5分
所以. ……6分
(Ⅱ)证明:取的中点,连接.
因为,,,
所以,
所以. ……8分
又因为平面,平面,
所以平面. ……9分
(Ⅲ)解:因为,,
,
所以平面,故为平面的一个法向量.……10分
设平面的法向量为,
因为,,
所以 即
令,得,,故. ……12分
所以, ……13分
所以二面角的大小为. ……14分