北京劲松第四中学高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在对吸烟与患肺癌这两个因素的研究计算中,下列说法中正确的是( )
A.若统计量X2>6.64,我们有99%的把握说吸烟与患肺癌有关,则某人吸烟,那么他有99%的可能患肺癌
B.若从统计中得出,有99%的把握说吸烟与患肺癌有关,则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病
C.若从统计量中得出,有99%的把握说吸烟与患肺癌有关,是指有1%的可能性使得推断错误
D.以上说法均不正确
参考答案:
D
【考点】独立性检验.
【分析】若Χ2>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,不表示有99%的可能患有肺病,也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病,不表示有1%的可能性使得推断出现错误,故可得结论.
【解答】解:若Χ2>6.64,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,不表示有99%的可能患有肺病,故A不正确.
若从统计中得出,有99%的把握说吸烟与患肺癌有关,不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病,故B不正确.
若从统计量中求出有99%的把握说吸烟与患肺癌有关,是指有1%的可能性使得推断出现错误,故C不正确.
故以上三种说法都不正确.
故选D.
2. 双曲线的渐近线与圆相切,
则r=( )
(A) (B)2 (C)3 (D)6
参考答案:
A
3. 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”,且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.65 B.0.35 C.0.3 D.0.005
参考答案:
B
略
4. 在△ABC中A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则定点C的轨迹方程是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
D
∵,,
∴,
又∵的周长为,
∴,
∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆.
则,,,
∴顶点的轨迹方程为.
故选.
5. 设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为( )
A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不确定
参考答案:
A
【考点】62:导数的几何意义.
【分析】根据平均变化率列出相应的式子,在讨论自变量的情况下,比较两个数的大小.
【解答】解:当自变量从0到0+△x时,k1==,
当自变量从到+△x时,k2==
当△x>0时,k1>0,k2<0即k1>k2;
当△x<0时,k1﹣k2=﹣=
∵△x<0,△x﹣<﹣,sin(△x﹣)<﹣, sin(△x﹣)+1<0,
∴k1>k2
综上所述,k1>k2.
故选A.
6. 鞋柜里有3双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,恰好成双的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
鞋柜里有3双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,共有9种取法,
恰好成双的取法共有3种,
故恰好成双的概率为
故选:B
7. 对于以下说法:
①命题“,使”的否定是“ ”;
②动点到点及点的距离之差为定值,则点的轨迹是双曲线;
③三棱锥中,若点P满足则点P在平面ABC内. 其中正确的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
8. 将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9,记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则( )
A. 0.09 B. 9 C. 1 D. 0.9
参考答案:
D
【分析】
在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则随机变量,利用方差的公式,即可求解.
【详解】由题意,在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则随机变量,
所以,故选D.
【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算,其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
10. 在极坐标系中,过点A(2,)且垂直极轴的直线的极坐标方程为
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,数列{an}满足a1=f(1),且an+1=f(an)(n∈N+),则a2015= .
参考答案:
【考点】数列与函数的综合.
【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列.
【分析】求得a1,再取倒数,可得=+1,结合等差数列的定义和通项公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:由,
可得a1=f(1)=,
由an+1=f(an),可得an+1=,
取倒数,可得=+1,
即有{}为首项为2,公差为1的等差数列,
即有=2+2015﹣1=2016,
可得a2015=.
故答案为:.
【点评】本题考查数列的通项的求法,注意运用取倒数,结合等差数列的定义和通项公式,考查运算能力,属于中档题.
12. 已知椭圆的焦点分别为,若该椭圆上存在一点使得,则椭圆离心率的取值范围是 。
参考答案:
略
13. 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色,当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如图1所示,由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________.
(结果用数值表示)
n=1
n=2
n=3
n=4
参考答案:
21,43
14. 若函数在处取得最小值,则 _________________________
参考答案:
略
15. 若函数的定义域是则函数的定义域是
参考答案:
略
16. 若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为________.
参考答案:
略
17. 已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1.
(1)若A1C1的中点为O1,求异面直线BO1与A1D1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求点D到平面A1BC1的距离d.
参考答案:
【考点】MK:点、线、面间的距离计算;LM:异面直线及其所成的角.
【分析】(1)建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出.利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角.
(2)求出平面ABD的法向量.通过空间向量的距离公式求解即可.
【解答】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分,第2小题满分.(理科)
解:(1)按如图所示建立空间直角坐标系.由题知,可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3).
由O1是A1C1中点,可得O1(1,1,3).
于是,.
设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ,则
.
因此,异面直线BO1与A1D1所成的角为.
(2)设是平面ABD的法向量.
∴
又,
∴取z=2,可得即平面BA1C1的一个法向量是.
∴=.
19. 已知函数f(x)=xex﹣ax2﹣x;
(1)若f(x)在x=﹣1处取得极值,求a的值及f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
(1)见解析(2)a≤e﹣1
【分析】
(1)求出f′(x),得到f′(﹣1)=0,解出即可;(2)当x>1时,f(x)>0,转化为a,设g(x),(x>1),则利用导数求出g(x)的最小值,即可求得a的取值范围.
【详解】1)f′(x)=(x+1)ex﹣2ax﹣1,
若f(x)在x=﹣1处取得极值,则f′(﹣1)=2a﹣1=0,
解得:a,
故f(x)=xexx2﹣x,f′(x)=(x+1)ex﹣x﹣1= ,
令f′(x)>0,解得:x>0或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<0,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增;
故单调增区间为(﹣∞,﹣1),(0,+∞);减区间为(﹣1,0)
(2)x>1时,f(x)=xex﹣ax2﹣x>0,即a,
设g(x),(x>1)
∴g′(x)0,
∴g(x)在(1,+∞)递增,
g(x)>g(1)=e﹣1,
∴a≤e﹣1.
【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查了函数的恒成立问题,一般选用参变量分离的方法解决,转化成求函数的最值问题,涉及了利用导数求函数的最值,属于中档题.
20. (本小题满分10分)某公司在统计2012年的经营状况时发现,若不考虑其他因素,该公司每月获得的利润(万元)与月份之间满足函数关系式:
(Ⅰ)求该公司5月份获得的利润为多少万元?
(Ⅱ)2012年该公司哪个月的月利润最大?最大值是多少万元?
参考答案:
(Ⅰ)根据题意知,当时,所以该公司5月份获得的利润为88万元.
(Ⅱ)因为,单调递增,当时,;
,单调递减,当时,,所以2012年该公司7月份的月利润最大,最大值为102万.
21. 如图,在四棱锥E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(1)求棱锥C﹣ADE的体积;
(2)在线段DE上是否存在一点P,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】(1)在Rt△ADE中,AE=,可得S△ADE=AE?DE.由于CD⊥平面ADE,可得VC﹣ADE=CD?S△ADE.
(2)在线段DE上存在一点F,使AF∥平面BCE, =,设F为线段DE上的一点,过F作FM∥CD交CE于点M,由线面垂直的性质可得:CD∥AB.可得四边形ABMF是平行四边形,于是AF∥BM,即可证明AF∥平面BCE
【解答】解:(1)在Rt△ADE中,AE==3,
∴S△ADE=AE?DE=×3×3=,
∵CD⊥平面ADE,∴VC﹣ADE=CD?S△ADE=×6×=9,
在线段DE上存在一点F,使AF∥平面BCE, =,
下面给出证明:设F为线段DE上的一点,且=,
过F作FM∥CD交CE于点M,则FM=,
∵CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,
∴CD∥AB.又CD=3AB,
∴MF∥AB,MF=AB,
∴四边形ABMF是平行四边形,
∴AF∥BM,又AF?平面BCE,BM?平面BCE.
∴AF∥平面BCE.
22. (本小题13分)已知椭圆 (