2022年河南省开封市第二十六中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
2. 已知函数f(x)=x(a﹣e﹣x),曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣e2,+∞) B.(﹣e2,0) C.(﹣e﹣2,+∞) D.(﹣e﹣2,0)
参考答案:
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】由曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,故f′(x)=a+(x﹣1)e﹣x=0有两个不同的解,即得a=(1﹣x)e﹣x有两个不同的解,即可解出a的取值范围.
【解答】解:∵曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,
∴f′(x)=a+(x﹣1)e﹣x=0有两个不同的解,即得a=(1﹣x)e﹣x有两个不同的解,
设y=(1﹣x)e﹣x,则y′=(x﹣2)e﹣x,∴x<2,y′<0,x>2,y′>0
∴x=2时,函数取得极小值﹣e﹣2,
∴0>a>﹣e﹣2.
故选D.
3. 角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,“角α的终边在射线x+3y=0(x≥0)上”是“sin2α=﹣”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据三角函数的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:∵角α的终边在射线x+3y=0(x≥0)上,
∴设点P(3,﹣1),则sinα=﹣,cosα=,则sin2α=2sinαcosα=2×(﹣)()=﹣,即充分性成立,
当M(﹣3,1),则sinα=,cosα=﹣,此时满足sin2α=﹣,但M(﹣3,1)不在射线x+3y=0(x≥0)上,即必要性不成立,
即“角α的终边在射线x+3y=0(x≥0)上”是“sin2α=﹣”的充分不必要条件,
故选:A.
4. 已知在复平面内对应的点为P,则P点不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
B
【分析】
分、、、和五种情况讨论,分析复数的实部和虚部的符号,可得出点可能所在的位置.
【详解】当时,则,,此时复数所对应的点在第三象限;
当时,则,则复数所对应的点在轴上;
当时,则,,此时复数所对应的点在第四象限;
当时,则,此时复数所对应的点在轴上;
当时,则,,此时复数所对应的点在第一象限.
因此,点不可能在第二象限.
故选:B.
【点睛】本题考查复数对应点所在的象限,解题时要从复数的实部和虚部的符号来进行分析,考查分类讨论思想的应用,属于基础题.
5. 若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是( )
A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞, -1)∪(0,+∞)
参考答案:
A
6. 函数的部分图象大致为( )
参考答案:
D
7. 命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
∵,
∴命题,是真命题.
∵,
∴命题,是假命题.
由复合命题真值表得:是假命题,故错误;
是真命题,故正确;
是假命题,故错误;
为假命题,故错误.
故选.
8. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )
A.2 B. C. D.3
参考答案:
D
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高x即可.
【解答】解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是:
V==3?x=3.
故选D.
9. 是虚数单位,则复数在复平面内对应的点在( )
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
参考答案:
D
,所以对应点位,在第四象限,选D.
10. 条件,条件;若p是q的充分而不必要条件,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数 ,函数的零点个数为 个.
参考答案:
2
12. 在△ABC中,若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为________.
参考答案:
13. 设Sn是等比数列{an}的前n项的和,若a3+2a6=0,则的值是 .
参考答案:
2
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3,然后利用等比数列的求和公式化简==,代入即可求解.
【解答】解:∵a3+2a6=0,
∴=﹣,即q3=﹣,
∴====2.
故答案是:2.
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题.
14. 已知函数,则方程f2(x)﹣f(x)=0的实根共有 .
参考答案:
7个
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】求解方程f2(x)﹣f(x)=0,可得f(x)=0或f(x)=1.画出函数的图象,数形结合得答案.
【解答】解:由f2(x)﹣f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=1.
画出函数的图象如图,
由图可知,f(x)=0可得x有3个不同实根;
f(x)=1可得x有4个不同实根.
∴方程f2(x)﹣f(x)=0的实根共有7个.
故答案为:7个.
15. 方程的解为_______.
参考答案:
16. 已知圆C:,直线l:则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为 .
参考答案:
17. 已知的导函数为.若,且当时,,则不等式的解集是 .
参考答案:
令,则由,可得,故为偶函数,又当时,即,所以在上为增函数.不等式可化为,所以有,解得.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .(10分)已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项; (Ⅱ)求数列的前n项和
参考答案:
解: 由题设知公差
由成等比数列得
解得(舍去)
故的通项
,
由等比数列前n项和公式得
略
19. (本小题满分13分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =;
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =;
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?
(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天)
参考答案:
解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)= ——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300. ——4分
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得
h(t)=f(t)-g(t)
即h(t)= ——6分
当0≤t≤200时,配方整理得
h(t)=-(t-50)2+100,
所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;
当20087.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. ——13分
略
20. (本小题满分12分)已知函数,x∈R.
(1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)在锐角中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,,求的面积.
参考答案:
解(1) f(x), ………………3分
故其最小正周期, ………………4分
令,解得,
即函数图象的对称轴方程为,. ………………6分
(2)由(1),知,因为,所以.
又,故得,解得. ………………8分
由正弦定理及,得. ………………10分
故. ………………12分
21. 已知向量.
(Ⅰ)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N,又点A(0,﹣1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(I)由整理可求Q点的轨迹方程.
(II)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2﹣1)=0,结合直线与椭圆有两个不同的交点,可得△>0,从而可得m与k得关系,设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|,可得AP⊥MN,从而有KAP?Kmn=﹣1,代入可求.
【解答】解:(I)由题意得:,∵.∴…(4分)
(II)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2﹣1)=0,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴△>0,即m2<3k2+1①…(6分)
(1)当k≠0时,设弦MN的中点为P(xp,yp),xM、xN分别为点M、N的横坐标,则…(8分)
又|AM|=|AN|,∴②,将②代入①得2m>m2,解得0<m<2,由②得,故所求的m取值范围是.…(10分)
(2)当k=0时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m2<3k2+1,解得﹣1<m<1.
…(12分)
【点评】本题考查了轨迹方程的求法,椭圆性质的应用,关键是看清题中给出的条件,灵活运用韦达定理,中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用.
22. 设函数,其中,,为常数.
(1)若,,试讨论函数的单调区间;
(2)若函数在上单调递增,且,证明:,并求的最小值(用,的代数式表示).
参考答案:
(1)解:依题意得的定义域为,当时,.
若,,则,从而在上单调递增;
若,,则,从而在上单调递减;
若,,令,得,列表如下:
极小值
若,,令得,列表如下:
极大值
(2)证明:函数在上单调递增,则对任意实数均成立,
取实数,,则两式相加得:,
令,则,从而.
又由,当时,,若,则不恒成立,又,从而,从而.
下证.
记,,,由于,
在点处的切线方程为:.
接下来,我们证明,
构造函数,.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;