浙江省湖州市德清莫干山镇中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的两个焦点是F1和F2,则( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
D
【分析】
根据双曲线的方程,可直接得出焦距.
【详解】因为双曲线方程为,
所以其焦距为.
故选D
【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距,熟记双曲线的简单性质即可,属于基础题型.
2. 曲线3x2-y+6=0在x=-处的切线的倾斜角是
A. B.- C.π D.-π
参考答案:
C
略
3. 曲线在横坐标为的点处的切线为,则点(3,2)到的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为 ( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 已知椭圆的一个焦点为,若椭圆上存在点,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于的中点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 若实数x、y满足则的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞)
参考答案:
D
7. 函数的图像的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 下列命题中的假命题是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
9. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数可以是( )
A.1或2或3或4 B.0或2或4 C.1或3 D.0
参考答案:
B
略
10. 函数的定义域是( )
A.[-1,+∞) B.[-1,0) C.(-1,+∞) D.(-1,0)
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 存 .
参考答案:
在三角形的外角至多有一个钝角
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是:存在三角形的外角至多有一个钝角.
故答案为:存在三角形的外角至多有一个钝角.
12. 已知实数,,随机输入,执行如右图所示的程序框图,则输出的不小于的概率为__________.
A. B. C. D.
参考答案:
C
13. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
参考答案:
略
14. 函数的最小值为_____________;
参考答案:
9
15. △的面积为,,,
则边_____________.
参考答案:
2
略
16. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是________________________
参考答案:
=1.23x+0.08,
略
17. 某地教育部门为了解学生在数学答卷中的有关信息,从上次考试的10 000名考生的数学试卷中,用分层抽样的方法抽取500人,并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图4).则这10 000人中数学成绩在[140,150]段的约是______人.
参考答案:
800
本题考查了频率直方图的一些知识,由图在[140,150]的频率为0.008×10,所以在10 000人中成绩在[140,150]的学生有10 000×0.008×10=800人.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,
(1)若,证明:函数是(0,+∞)上的减函数;
(2)若曲线在点处的切线不直线平行,求a的值;
(3)若,证明:(其中…是自然对数的底数).
参考答案:
(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
试题分析:
(1)由题意二次求导可得,函数是上的减函数.
(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程,解方程可得.
(3)原不等式等价于,结合(1)的结论构造函数,令,可证得.
试题解析:
(1)当时,函数定义域是,所以,
令,只需证:时,.
又,
故在上为减函数,
所以,
所以,函数是上的减函数.
(2)由题意知,,且,
所以,即有,
令,,
则,
故是上的增函数,又,因此是的唯一零点,
即方程有唯一实根,所以.
(3)因为 ,
故原不等式等价于,
由(Ⅰ)知,当时,是上的减函数,
故要证原不等式成立,只需证明:当时,,
令,则,在上的增函数,
所以,即,故,
即.
19. (本题满分14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)
的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.
参考答案:
(1)由图象得A=2. 最小正周期T=.,
……………………………………………………………4分
由得,,
又得,所以,所求函数的解析式为.………6分
由得.所以,
函数的单调减区间为.……………………………8分
(2)
,即的取值范围是.…………………………14分
20. 已知圆过点、,且圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程;
(2)求直线被圆截得的弦长;
(3)为直线上一点,若存在过点的直线交圆于点,且恰为线段的中点,求点的纵坐标的取值范围.
参考答案:
(1)设圆心,则有即
所以,即圆心坐标为
圆半径,
则圆的标准方程为. ……………………………5分
(2)圆心到直线的距离
则截得的弦长为. ………………………10分
(3)设
若存在过点的直线交圆于点,且恰为线段的中点,则必有
即所以
则点的纵坐标的取值范围为. ……………………………16分
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围.
参考答案:
22. (本小题满分12分)
已知命题关于的方程有正根;命题不等式的解集为,或是真命题,且是假命题,求实数的范围。
参考答案: