江西省吉安市高陂中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设为数列的前项和,,则取最小值时,的值为 ( )
A.12 B.13 C.24 D.25
参考答案:
C
2.
函数的图象可能是下列图象中的( )
参考答案:
答案:C
3. 已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0, B.() C.(0,) D.(,1)
参考答案:
D
略
4. 当x<0时,函数的最小值是( )
A. B. 0 C. 2 D. 4
参考答案:
D
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 计算题.
分析: 两次利用均值不等式求出最小值,注意等号成立的条件,当多次运用不等式时,看其能否同时取得等号.
解答: 解:∵x<0则﹣x>0
∴﹣x﹣≥2,当x=﹣1时取等号
≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号
故选D.
点评: 本题主要考查了函数的最值及其几何意义,解题需要注意等号成立,属于基础题.
5. 下列命题错误的是( )
A.命题“若,则“的逆否命题为”若“
B.若命题,则
C.若为假命题,则,均为假命题
D.的充分不必要条件
参考答案:
C
略
6. 则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
7. 若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=( )
A.﹣2 B. C.1 D.2
参考答案:
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的综合应用.
【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,有公共点解方程即可求出a的值.
【解答】解:曲线y=的导数为:y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=.
曲线y=alnx的导数为:y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=.
曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,
可得,并且t=,t=alns,
即,解得lns=,解得s2=e.
可得a=1.
故选:C.
【点评】本题考查函数的导数,导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法,考查计算能力.
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1为函数的最大值,且满足an-anSn+1=-anSn,则数列{an}的前2018项之积A2018=
A.1 B. C.-1 D.2
参考答案:
A
9. 下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是
A.y=ex B.y=tanx C.y=x3-x D.
参考答案:
D
10. 已知两个单位向量,的夹角为60°,=(1﹣t)+t,若?=﹣,则实数t的取值是( )
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
参考答案:
B
考点:平面向量数量积的运算.
专题:计算题;平面向量及应用.
分析:运用向量的数量积的定义可得?=,再由向量的平方即为模的平方,解方程即可得到t.
解答: 解:两个单位向量,的夹角为60°,
则有?=1×1×cos60°=,
由=(1﹣t)+t,且?=﹣,
即有(1﹣t)?+t=﹣,
即(1﹣t)+t=﹣,
解得t=﹣2.
故选:B.
点评:本题考查向量的数量积的定义和性质,主要考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,则__________。
参考答案:
8
12. 已知点P到△ABC的三个顶点的距离相等,且,则·等于 。
参考答案:
略
13. 设,向量,,若,则______________ .
参考答案:
2
略
14. (4分)(2015?上海模拟)方程cos2x+sinx=1在(0,π)上的解集是 .
参考答案:
{,}
【考点】: 根的存在性及根的个数判断.
【专题】: 计算题;三角函数的图像与性质.
【分析】: cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1;即sinx(1﹣2sinx)=0;从而求解.
解:cos2x+sinx=1可化为
1﹣2sin2x+sinx=1;
即sinx(1﹣2sinx)=0;
∵x∈(0,π),
∴sinx=;
∴x=或;
故答案为:{,}.
【点评】: 本题考查了三角函数的化简与求值,属于基础题.
15. 如图,在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.
设M是底面ABC内的一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、 p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的体积.若,且恒成立,则正实数a的最小值为________.
参考答案:
1
16. 定义在(0,)的函数f(x)=8sinx﹣tanx的最大值为 .
参考答案:
【考点】三角函数的最值.
【分析】利用导函数研究其单调性,求其最大值.
【解答】解:函数f(x)=8sinx﹣tanx,
那么:f′(x)=8cosx﹣=,
令f′(x)=0,
得:cosx=
∵x∈(0,),
∴x=.
当x∈(0,)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,)上是单调增函数.
当x∈(,)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(,)上是单调减函数.
∴当x=时,函数f(x)取得最大值为
故答案为:.
【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性,求其最大值的问题.属于基础题.
17. 已知函数,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不同的实数根,则实数t的取值范围为 .
参考答案:
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】求函数的导数,判断函数的取值情况,设m=f(x),利用换元法,将方程转化为一元二次方程,利用根的分布建立条件关系即可得到结论.
【解答】解:当x<0时,f′(x)=﹣ex﹣xex=﹣ex(x+1),
当x<﹣1时,f′(x)>0,
当﹣1≤x<0时,f′(x)≤0.
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,0)单调递减.
∴函数f(x)=﹣xex在(﹣∞,0)上有一个极大值为
f(﹣1)=,作出函数f(x)的草图如图:
设m=f(x),当m>时,方程m=f(x)有1个解,
当m=时,方程m=f(x)有2个解,
当0<m<时,方程m=f(x)有3个解,
当m=0时,方程m=f(x),有1个解,
当m<0时,方程m=f(x)有0个解,
则方程f2(x)+tf(x)+1=0等价为m2+tm+1=0,
要使关于x的方程f2(x)+tf(x)+1=0恰好有4个不相等的实数根,
等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1>且0<m2<,
设g(m)=m2+tm+1,
则,即t<﹣e﹣,
∴实数t的取值范围为:.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图9-13,P是抛物线C:y=x2上—点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(I)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点 M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,
试求的取值范围.
参考答案:
(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M (x0,y0),依题意x1≠0,yl>0,y2>0.
由y=x2,①得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意, ∴x1≠0.
∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1).②
方法一:联立①②消去y,得x2+-x21-2=0.
由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③则
方法一:
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴ 的取值范围是(2,+∞).
方法二:∴
当b>0时,=|b|+2>2;
当b<0时, =-b
又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b) 2-4b2= 4k2(k2+2b)>0.
于是k2+2b>0,即k2>-2b.
所以
∵当b>0时,可取一切正数,
的取值范围是(2+∞).
方法三:
由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,
即
则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).
于是b=
可取一切不等于l的正数,的取值范围是(2,+∞).
19. (本小题满分16分)
设,其中为非零常数,
数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,an+Sn=.
(1)若k=0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列.
参考答案:
(1)若,则即为常数,不妨设(c为常数).
因为恒成立,所以,即.
而且当时,, ①
, ②
①-②得 .
若an=0,则,…,a1=0,与已知矛盾,所以.
故数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去.
(ii) 若k=1,设(b,c为常数),
当时,, ③
, ④
③-④得 .要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有(常数),
而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1,
故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an =1,此时.
(iii) 若k=2,设(,a,b,c是常数),
当时,, ⑤
, ⑥
⑤-⑥得 ,
要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有
,且d=2a,
考虑到a1=1,所以.
故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为,
此时(a为非零常数). (iv) 当时,若数列{an}能成等差数列,则的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}不能成等差数列.
综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列.
20. 如图所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,.
(1)求证:BC⊥平面AA1C.
(2)求三棱锥的体积的最大值.
参考答案:
(1)见解析;(2)
【分析】
(1)由点在圆周上可得,再证明,即可证明;
(2)设,建立三棱锥的体积关于AC长的函数,再利用二次函数即可求相应函数的最大值.
【详解】(1)∵是底面圆周上异于,的任意一点,且是圆柱底面圆的直径,∴.
∵平面,平面,∴.
∵,平面,平面,∴平面.
(2)设,在中,,
故,
即.
∵,,∴当,即时,三棱锥的体积最大,最大值为.
【点睛】利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直,就是判断直线与平面内的两条相交直线垂直,求某个量的最值一般建立其关于另一变量(或几个变量)的函数关系,结合函数的单调性即可求得最值.
21. 树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人,并