湖北省宜昌市葛洲坝西陵中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
,
∴,,
∴ .
故选A.
2. 函数图象可能为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
由函数定义域,函数为奇函数,,结合分析即得解.
【详解】函数定义域:,在无定义,排除C,
由于,故函数为奇函数,关于原点对称,排除B,
且,故排除D
故选:A
【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像,考查了学生综合分析,数形结合的能力,属于中档题.
3. 若=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】对数的运算性质.
【分析】首先利用对数的运算性质求出x,然后即可得出答案.
【解答】解:∵x=log43
∴4x=3
又∵(2x﹣2﹣x)2=4x﹣2+=3﹣2+=
故选:D
【点评】本题考查了对数的运算性质,解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3,属于基础题.
4. 已知a,b是两个互相垂直的向量,|a|=1,|b|=2,则对任意的正实数t,的最小值是
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
A
5. 函数f(x)=x2﹣lnx的递减区间为( )
A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.
【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=x﹣=,
令f′(x)<0,解得:0<x<1,
故函数f(x)在(0,1)递减,
故选:B.
6. 已知向量的最小值为
A.2 B. C.6 D.9
参考答案:
C
略
7. 已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 记全集,集合,集合,则( )
A. [4,+∞) B. (1,4] C. [1,4) D. (1,4)
参考答案:
C
【分析】
求得集合或,,求得,再结合集合的交集运算,即可求解.
【详解】由题意,全集,集合或,
集合,
所以,所以.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中正确求解集合,再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数,都有,则称函数为“H函数”,现给出如下函数:
①②③④
其中为“H函数”的有( )
A.①② B.③④ C. ②③ D. ①②③
参考答案:
C
略
10.
集合,的子集中,含有元素0的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
参考答案:
解:的子集共个,含有元素0的和不含元素0的子集各占一半,有4个.选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=(1,3),=(﹣2,m),若与垂直,则m的值为 .
参考答案:
﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【专题】平面向量及应用.
【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量,然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值.
【解答】解:由=(1,3),=(﹣2,m),所以,
又由与垂直,所以1×(﹣3)+3×(2m+3)=0,即m=﹣1.
故答案为﹣1.
【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系,考查计算能力,是基础题.
12. (6分)(2015?浙江模拟)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为 ,单调增区间为 ,= .
参考答案:
2π, [2kπ﹣,2kπ+],.
【考点】: 正弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法.
【专题】: 三角函数的图像与性质.
【分析】: 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论.
解:f(x)=sinx+cosx=sin(x+),
则函数的周期T==2π,
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z,
故函数的递增区间为[2kπ﹣,2kπ+],
f()=sin(+)=sin==,
故答案为:2π,[2kπ﹣,2kπ+],.
【点评】: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键.
13. 设函数f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=log2(4x+1),则f()= .
参考答案:
﹣2
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】先利用函数的周期性、奇偶性,把自变量转化到所给的区间[0,1],即可求出函数值.
【解答】解:∵函数f(x)最小正周期为2,∴f()=f(﹣4)=f(﹣),
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣)=﹣f(),
∵当0≤x≤1时,f(x)=log2(4x+1),
∴f()=log2(4×+1)=log24=2,
∴f()=﹣f()=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性及函数值,充分理解以上有关知识是解决问题的关键.
14. 已知实数,满足条件 则的最大值为 .
参考答案:
【知识点】简单的线性规划的应用. E5
【答案解析】 解析:画出可行域如图:令,即,平移曲线
知,当曲线过点B(1,1)时z最大,且最大值为.
【思路点拨】画出可行域,令目标函数,则,平移曲线
知,当曲线过可行域的顶点B(1,1)时z最大,且最大值为.
15. 若变量满足约束条件的最小值为,则k=________.
参考答案:
-1
16. 已知α,β∈,sn(α+β)=-,sin=,则cos=________.
参考答案:
-
17. 若函数在区间上的最大值为4,则的值为_________.
参考答案:
1或–1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,AB=1,CD=3,M为PC上一点,MC=2PM.
(Ⅰ)证明:BM∥平面PAD;
(Ⅱ)若AD=2,PD=3,求点D到平面PBC的距离.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.
【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)过M作MO⊥CD,交CD于O,连结BO,推导出MO∥PD,AD∥BO,由此能证明BM∥平面PAD.
(2)以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点D到平面PBC的距离.
【解答】证明:(1)过M作MO⊥CD,交CD于O,连结BO,
∵四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,AB=1,CD=3,M为PC上一点,MC=2PM,
∴MO∥PD,OD=,∴ODAB,∴AD∥BO,
∵AD∩PD=D,BO∩MO=O,AD、PD?平面ADP,BO、MO?平面BOM,
∴平面ADP∥平面BOM,
∵BM?平面BOM,∴BM∥平面PAD.
解:(2)∵AD=2,PD=3,AB∥CD,∠BAD=,AB=1,CD=3,
∴BD==,∴BD2+AB2=AD2,
以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,
建立空间直角坐标系,
B(,1,0),P(0,0,3),C(0,3,0),D(0,0,0),
=(),=(),=(0,3,﹣3),
设平面PBC的法向量=(x,y,z),
则,取x=2,得=(2,3,3),
∴点D到平面PBC的距离d===.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
19. (本小题满分12分) 在四边形ABCD中,,,,
,在方向上的投影为8;
(1)求的正弦值;(2)求的面积.
参考答案:
解:(1),,
在中,,,,,,
在方向上的投影为8,,,
,
(2),,
略
20. (本题14分)设函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由.
参考答案:
解:(1)由可得.
令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………7分
(2)由可知,,从而易知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
①由在上连续、单调递增,且,以及,故方程在有且只有一个实根;
②由于在上单调递减,在上单调递增,因此在上的最小值,故方程在没有实数根.
综上可知,方程有且只有一个实数根.
略
21. (12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1 =3,且a1,a2,a4成等比数列.
(I)求{an}的通项公式;
(II)数列{ }是以a1为首项,3为公比的等比数列,求数列的前n项和Sn
参考答案:
(Ⅰ)设的公差为,由题意,,即………………………2分
于是
因为,且,所以. …………………………………………………4分
故. ……………………………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,……………………………………………………………6分
又数列是以为首项,为公比的等比数列,则, ………7分
所以,即. ………………………………………………………8分
因此①
则② ……………………………………………10分
由①-②得
因此. ……………………………………………………………………12分
22. 已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,G、H是抛物线上的两点,|GF|+|HF|=3,线段GF的中点到y轴的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)如果过点P(m,0)可以作一条直线l,交抛物线于A、B两点,交圆(x﹣6)2+y2=4于C、D(自上而下依次为B、D、C、A),且+=+,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由抛物线定义知: +=,得p=,即可求出抛物线的方程;
(2)由+=+得﹣=﹣,即=,可得x1+x2=x4+x3,分类讨论,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由抛物线定义知: +=,得p=…
故抛物线的方程为y2=x…
(2)由+=+
得﹣=﹣,即=…
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则=(x1﹣x3,y1﹣y3),=(x4﹣x2,y4﹣y2),
所以x1﹣x3=x4﹣x2,即x1+x2=x4+x3…
①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=m,此时只需点P(m,0)在圆内即可,
故(m﹣6)2<4,解得4<m<8…
②当直线l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x﹣m)(且m≠0)
代入抛物线方程得:k2x2﹣(2mk2+1)x+m2k2=0…
因为直线l