广东省湛江市吴川梅菉中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且,则()
A. 4 B. 7 C. 8 D. 14
参考答案:
A
【分析】
由等差数列的性质即可求解
【详解】,故
故选:A
【点睛】本题考查等差数列求和及基本性质,熟记求和公式及性质,准确计算是关键,是基础题
2. 某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆.则租金最少为
A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元
参考答案:
C
3. 已知集合,为虚数单位,则下列选项正确的是( )
参考答案:
C
略
4. 化简的结果是( )
A.﹣cos1 B.cos 1 C.cos 1 D.
参考答案:
C
【考点】二倍角的余弦.
【专题】计算题;三角函数的求值.
【分析】利用二倍角公式,同角三角函数关系式即可化简求值.
【解答】解:.
故选:C.
【点评】本题主要考查了二倍角公式,同角间三角公式的综合应用,属于基本知识的考查.
5. 我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC长为半径作圆,交AD延长线于F;③以D为圆心,以DF长为半径作⊙D;④以A为圆心,以AD长为半径作⊙A交⊙D于G,则△ADG为黄金三角形。根据上述作法,可以求出cos36°=
A.B. C. D.
参考答案:
B
不妨假设,则,故
6. 已知集合 ,则M∩N=( )
A. [0,1] B. [1,2) C. [1,2] D. [0,2)
参考答案:
B
【分析】
化简集合和集合,根据集合的交集计算即可.
【详解】由得 ,所以,由得,所以,
故,所以选B.
【点睛】本题主要考查了集合的概念,集合的交集运算,涉及函数定义域的相关知识,属于中档题.
7. 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>﹣2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣x)的解集是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,) C.(﹣∞,0)∪(0,) D.(0,)
参考答案:
C
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;62:导数的几何意义.
【分析】f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,可得:f(﹣x)=f(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),可得:xf′(x)+2f(x)>0,由g(x)=x2f(x),可得g′(x)>0.可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出.
【解答】解:∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,
∴f(﹣x)=f(x).
对任意正实数x满足xf′(x)>﹣2f(x),
∴xf′(x)+2f(x)>0,
∵g(x)=x2f(x),
∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0.
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)在(﹣∞,0)递减;
由不等式g(x)<g(1﹣x),
∴或,
解得:0<x<,或x<0
∴不等式g(x)<g(1﹣x)的解集为:{x|0<x<或x<0}.
故选:C.
8. 设tan(α+β)=,tan(β﹣)=﹣,则tan(α+)的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得tan(α+)=tan[(α+β)﹣(β﹣)]的值.
【解答】解:∵tan(α+β)=,tan(β﹣)=﹣,
则tan(α+)=tan[(α+β)﹣(β﹣)]= = =,
故选:B.
9. 已知i为虚数单位,若,则
A. 0 B.l C.-1 D.2
参考答案:
B
10.
命题不等式①的解集为; 命题:“A=B”是“”成立的必要非充分条件,则
A. 真假 B.为真 C.为假 D. 假真
参考答案:
答案:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算:________.
参考答案:
0
略
12. 若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称,则的解析式为 .
参考答案:
13. 下表给出一个“直角三角形数阵”
参考答案:
14. 二项式的展开式中含x项的系数为 .
参考答案:
70
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项式展开式的通项公式,令x项的指数为1求出r的值,再计算含x项的系数.
【解答】解:二项式的展开式中,
通项公式为Tr+1=??=?,
令4﹣=1,解得r=4;
所以展开式中含x项的系数为=70.
故答案为:70.
15. 若函数在R上单调递增,实数的取值范围为___________.
参考答案:
略
16. 二项式的展开式中的系数为60,则实数m等于__________.
参考答案:
17. 在三棱锥P-ABC中,给出下列四个命题:
1 如果PA⊥BC,PB⊥AC,那么点P在平面ABC内的射影是DABC的垂心;
2 如果点P到DABC的三个顶点的距离都相等,那么点P在平面ABC内的射影是DABC的内心;
3 如果棱PA和BC所成的角为60°,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1;
4 如果三棱锥P-ABC的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影(投影线垂直投影面)的面积都不大于;
其中正确命题的序号是____________.
参考答案:
①③④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=mex﹣x﹣2(其中e为自然对数的底数)
(1)若f(x)>0在R上恒成立,求m的取值范围;
(2)若f(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2,求的值域.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)问题转化为,令,根据函数的单调性求出m的范围即可;
(2)令x2﹣x1=t(t>0),得,根据函数的单调性求出g(t)的范围,从而求出函数的极值即可.
【解答】(1)解:由f(x)>0得mex﹣x﹣2>0,
即有,令,则,
令u'(x)>0?x<﹣1,u'(x)<0?x>﹣1,
∴u(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,+∞)上单调递减,
∴u(x)max=u(﹣1)=e,∴m>e.
(2)由题意,,,
令x2﹣x1=t(t>0),,又,
∴g(t)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(t)<g(0)=0,g(t)∈(﹣∞,0),
∴的值域为(﹣∞,0).
19. 在极坐标系中,曲线的方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的方程为(为参数).
(1)求曲线的参数方程和曲线的普通方程;
(2)求曲线上的点到曲线的距离的最大值.
参考答案:
(1)曲线的参数方程为(为参数)
曲线的普通方程为
(2)设曲线上任意一点,点到的距离
∵ ∴
所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为
20. Sn为数列{an}的前n项和,,且.
(I)求数列{an}的通项公式:
(Ⅱ)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
解:(I)由 ①得
② ②-①得整理得
(Ⅱ)由可知
则
21. 在 ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a= , .
(Ⅰ)若b= ,求角C的大小;(Ⅱ)若c=2,求边b的长。
参考答案:
(Ⅰ) (Ⅱ)4
解析:(I)由正弦定理 ,得 ,解得 . . ………………………2分
由于 为三角形内角, ,则 , ………………4分
所以, . . . ………………………5分
(II)依题意, ,即,整理得 . …………7分
又 ,所以. ………………………10分
另解:
由于 ,所以,解得 , ……………7分
由于 ,所以, . . . . ………………………8分
由 ,所以 .
由勾股定理 ,解得. . ………………………10分.
略
22. 如图1,已知长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM如图2,设点E是线段DB上的一动点(不与D,B重合).
(Ⅰ)当AB=2时,求三棱锥M﹣BCD的体积;
(Ⅱ)求证:AE不可能与BM垂直.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【分析】(Ⅰ)取AM的中点N,连接DN.由已知结合面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCM.求出DN,然后利用等积法求得三棱锥M﹣BCD的体积;
(Ⅱ)假设AE⊥BM,结合(Ⅰ)利用反证法证明.
【解答】(Ⅰ)解:取AM的中点N,连接DN.
∵AB=2AD,∴DM=AD,又N为AM的中点,
∴DN⊥AM,
∵平面ADM⊥平面ABCM,又平面ADM∩ABCM=AM,DN?平面ADM,
∴DN⊥平面ABCM.
∵AB=2,∴AD=1,AM=,则,
又,
∴VM﹣BCD=VD﹣BCM=;
(Ⅱ)证明:假设AE⊥BM.
由(Ⅰ)可知,DN⊥平面ABCM,∴BM⊥DN.
在长方形ABCD中,AB=2AD,
∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形,∴BM⊥AM.
而DN、AM?平面ADM,DN∩AM=N,
∴BM⊥平面ADM.
而AD?平面ADM,
∴BM⊥AD.
由假设AE⊥BM,AD、AE?平面ABD,AD∩AE=A,
∴BM⊥平面ABD,
而AB?平面ABD,∴BM⊥AB,
这与已知ABCD是长方形矛盾,
故AE不可能与BM垂直.