广东省湛江市茅塘中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若抛物线上一点到其焦点的距离为,则点的坐标为( )。
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:点到其焦点的距离等于点到其准线的距离,得
2. 一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:)为 ( )
A、
B、
C、
D、
参考答案:
D
3. 等比数列的前项和为,且4,2,成等差数列,若=1,则= ( )
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
参考答案:
C
4. 已知命题p:恒成立,命题q:为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
先分别求得为真命题时,的取值范围,然后求交集,由此得出正确选项.
【详解】对于命题,,故.对于命题,.由于p且q为真命题,故都为真命题,所以,故选D.
【点睛】本小题主要考查不等式的性质,考查指数函数的单调性,考查含有简单逻辑联结词命题真假性等知识,属于基础题.
5. 双曲线的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,2] B.[2,+∞) C. D.
参考答案:
A
6. 椭圆=1的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
参考答案:
B
【考点】椭圆的应用;与二面角有关的立体几何综合题.
【专题】计算题.
【分析】连接A10根据椭圆的性质可知A10⊥y轴,A20⊥y轴,推断出∠A10A2为所求的二面角,利用椭圆的方程求得a和c,即|A10|和|0F|的值,进而在Rt△A10A2中利用求得cos∠A10A2进而求得∠A10A2.
【解答】解:连接A10
∵A10⊥y轴,A20⊥y轴,
∴∠A10A2为两个面的二面角.
|A10|=a=4,|0F|=c==2,
∴cos∠A10A2==
∴∠A10A2=60°,
故选B
【点评】本题主要考查了椭圆的应用,与二面角相关的立体几何的综合.解决二面角问题的关键是找到或作出此二面角.
7. 椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,△PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据三角形的周长求出a的值,再根据勾股定理求出c的值,最后根据离心率公式计算即可.
【解答】解:设椭圆方程为,
∵△PF2Q的周长为36,
∴PF2+QF2+PQ=36=4a,
解得a=9,
∵过F1的最短弦PQ的长为10
∴PF2=QF2=(36﹣10)=13,
在直角三角形QF1F2中,根据勾股定理得,
=,
∴c=6,
∴
故选:C.
8. 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别为,,,现3人各投篮1次,是否投进互不影响,则3人都投进的概率为().
A. B. C. D.
参考答案:
A
人都投进的概率,故选.
9. 已知( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 在△ABC中,若a = 2 ,, , 则B等于 ( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点满足,则的取值范围是_____________。
参考答案:
12. 以椭圆=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=、c=2,进而计算可得结论.
【解答】解:∵椭圆方程为:=1,
∴其焦点坐标为:(﹣,0)、(,0),
顶点坐标为:(﹣2,0)、(2,0),
∴双曲线的焦点坐标为:(﹣2,0)、(2,0),
顶点坐标为:(﹣,0)、(,0),
∴双曲线方程:中a=、c=2,
∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5,
∴双曲线方程:,
故答案为:.
【点评】本题考查双曲线方程,注意解题方法的积累,属于中档题.
13. 一半球的体积是18 π,则此半球的内接正方体的表面积是 。
参考答案:
36
14. 已知数列、都是等差数列,=,,用、分别表示数列、的前项和(是正整数),若+=0,则的值为 .
参考答案:
5
15. 抛物线的准线过点,则 .
参考答案:
略
16. 若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项 ;
参考答案:
17. 如果,且函数为奇函数,为的导函数。则
参考答案:
- 2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在ABC中,, sinB=.
(I)求sinA的值;
(II)设AC=,求ABC的面积.
参考答案:
解析:(Ⅰ)(8分)由,且,∴,
∴,∴,
又,∴
(Ⅱ)(8分)由正弦定理得,又
∴
19. 已知方程
(1)若此方程表示圆,求的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点)求的值;
(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程。
参考答案:
解析:(1)
D=-2,E=-4,F=
=20-
……………………………………………………………………(4分)
(2) 代入得
………………………………………… 5分
, …………………………………(7分)
∵OMON
得出:…………………………………………………(8分)
∴
∴ ……………………………………………………………(10分 )
(3)设圆心为
………………………………………(12分)
半径 …………………………………………………………………(13分)
圆的方程 ……………………………………………(14分
20. 如图,菱形与正三角形的边长均为2,它们所在平面互相垂直,平面,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,求几何体的体积.
参考答案:
(Ⅰ)如图,过点作于,连接,.
平面平面,平面,
平面平面于,平面.
又平面,,.
四边形为平行四边形,.
平面,平面,平面.
(Ⅱ)连接,.由题意,得.
平面,平面平面于,平面.
,平面,平面,平面,
同理,由,可证,平面.
于,平面,平面.
平面平面,到平面的距离等于的长.
为四棱锥的高,
.
21. 已知函数:,.
(1)若存在,使,求的取值范围;
(2)若对任意的,,求的取值范围.
参考答案:
(1) 若存在,使
只需或 即:.
(2),对任意的恒成立,
①当时,,即在时恒成立
因为,当时等号成立.
所以,即
②当时,,即在时恒成立,因为,当时等号成立.
所以,即
③当时,.
综上所述,实数的取值范围是.
略
22. (本题12分)在新年联欢晚会上,游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会,共有10个奖品,其中一等奖6个,二等奖4个,甲、乙二人依次抽取。
(1)甲抽到一等奖,乙抽到二等奖的概率是多少?
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少?
参考答案:
(1) ……6分 (2) ……12分