贵州省遵义市绥阳县蒲场镇儒溪中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在上的函数满足，当时，
且时，恒成立，则的最小值是
A． B． C． D ．
参考答案：
D
2. 复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A. 3i B. 6i C. 3 D. 6
参考答案：
C
【分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】解：复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．
故选：C．
【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．
3. 已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
4. 对命题“?x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )
A．?x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．?x∈R，x2﹣2x+4≤0
C．?x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．?x∈R，x2﹣2x+4≥0
参考答案：
C
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】常规题型．
【分析】通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．
【解答】解：因为命题“?x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣2x+4＞0”．
故选C．
【点评】本题考查命题的否定的判断，注意全称命题与特称命题互为否命题．
5. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
C
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．
【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，
令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：
故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，
则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．
故选C．
【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，是解题的关键．
6. 命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（ ）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2≥b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2≥b
参考答案：
C
【考点】四种命题．
【分析】根据原命题和逆否命题的关系判断即可．
【解答】解：原命题的形式为“若p则q”，
则逆否命题的形式为“若￢q则￢p”，
故逆否命题为：若a≥或a≤﹣，则a2≥b，
故选：C．
7. 设集合，，则等于
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 设函数，若，则的取值范围是 ( ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
9. 函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【分析】当x＜0时，判断函数的值的符号，x＞0时函数值的符号，即可判断选项．
【解答】解：函数y=，可知x≠0，排除选项 A；
当x＜0时，3x＜1，y＜0，x＞0时，y＞0，
排除选项C，D；
故选：B．
10. 若复数z满足：，则
A．1 B．2 C． D．5
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
抛物线的焦点坐标是
参考答案：
答案：
12. 若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于 ．
参考答案：
15
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（3，3），
化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，
由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．
故答案为：15．
13. 若变量x、y满足，若的最大值为，则
参考答案：
令，则，因为的最大值为，所以，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时有最大值，由，解得，即。
14. 设向量，，则的坐标为 ， ．
参考答案：
(4,3),5
15. 与向量垂直的单位向量的坐标是___________.
参考答案：
或
设向量坐标为，则满足，解得或，即所求向量坐标为或
16. 若命题“?x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ．
参考答案：
m＞1
【考点】特称命题．
【分析】根据特称命题是假命题，则对应的全称命题是真命题，即可得到结论．
【解答】解：若命题“?x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，
则命题“?x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
17. 一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 己知分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(I)求角A的大小；
(II)若b+c=5，且的面积为，求a的值．
参考答案：
（Ⅰ） （或）;（Ⅱ） ．
解：（Ⅰ）由正弦定理得，
∵
∴ ，即． …………………3分
∵∴
∴ ∴． …………………6分
（Ⅱ）由： 可得．
∴ …………………9分
∵
∴由余弦定理得：
∴ …………………12分
19. （本小题满分13分）在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列
（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.
（1）求（1，3，40，2）的逆序数；
（2）已知n+2个不同数的排列的逆序数是2.
（ⅰ）求的逆序数an
（ⅱ） 令
参考答案：
（1）…………3分
（2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有个大小关系
…………6分
（3）
………10分
…………13分
20. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，，∠ABC=45°，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，M在线段CD上，且．
（Ⅰ）证明：CE⊥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面PMF⊥平面PAB，并求三棱锥P﹣AFM的体积．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理得EC=2，从而BE⊥EC，由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC，由此能证明CE⊥平面PAB．
（Ⅱ）取F是AD的中点，作AN∥EC交CD于点N，则AN∥EC．推导出FM∥EC，从而平面PFM⊥平面PAB，由此能求出三棱锥P﹣AFM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BE=2，，∠ABC=45°，由余弦定理得EC=2．
所以BE2+EC2=BC2，从而有BE⊥EC．…
由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC．…
所以CE⊥平面PAB．…
解：（Ⅱ）取F是AD的中点，作AN∥EC交CD于点N，
则四边形AECN为平行四边形，CN=AE=1，则AN∥EC．
在△AND中，F，M分别是AD，DN的中点，则FM∥AN，所以FM∥EC．
因为CE⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB．
又FM?平面PFM，所以平面PFM⊥平面PAB．…
．…
V=．…
21. 某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员 三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在内的家庭中选出户作为采访对象，其中甲、乙两家在备选之列，求恰好选中他们两家作为采访对象的概率
参考答案：
略
22. 在直角坐标系中，直线经过点（-1，0），其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为
（1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
参考答案：
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
-----------1分
直线的参数方程为 （为参数） ----------2分
将代入整理得 -----3分
直线与曲线有公共点，
----4分
的取值范围是 ------5分
(2)曲线的方程可化为，其参数方程为
（为参数） ---6分
为曲线上任意一点，
---8分
的取值范围是 ----10分