湖南省娄底市冷水江潘桥中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,则=( )
A. B. C. D.R
参考答案:
B
略
2. 函数在一个周期内的图象如右图,此函数的解析式为 ( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
3. 在中,角A,B,C所对应的边分别为则“”是 “”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
参考答案:
A
解析:本题考查正弦定理的应用。由于所以
所以,故“”是 “”的充要条件,故选答案为A.
4. 在等差数列中,若,则 的值为( )
A.24 B.15 C.16 D.17
参考答案:
答案:A
5. 为了解决某学校门前公路的交通状况,从行驶过的汽车中随机抽取辆进行统计分析,绘制出关于它们车速的频率分布直方图(如图所示),那么车速在区间的汽车大约有( )
(A)20辆
(B)40辆
(C)60辆
(D)80辆
参考答案:
D
略
6. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是
(A)若则 (B)若则
(C)若则 (D)若、与所成的角相等,则
参考答案:
答案:C
解析:对于平面和共面的直线、,真命题是“若则”,选C.
7. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π B. f(x)的最大值为
C. f(x)在上单调递增 D. f(x)的图象关于直线x对称
参考答案:
B
【分析】
根据倍角公式和辅助角公式化简,得.可直接判断的正误;选项,求出的取值范围,判断的单调性,即得的正误;选项,把代入,看是否取得最值,即得的正误.
【详解】
.
的最小正周期为,最大值为,故错误,正确.
对,当时,,又在上单调递减,在上单调递减.故错误.
对,,不最值,故错误.
故选:.
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质,属于中档题.
8. 若,则 ▲ .
参考答案:
9.
函数是奇函数的充要条件是( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
答案:B
10. 已知点A、B、C、D均在球O上,AB=BC=,AC=3,若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为,则球O的表面积为( )
A.36π B.16π C.12π D.π
参考答案:
B
考点:球内接多面体.
专题:综合题;空间位置关系与距离.
分析:确定∠BAC=120°,S△ABC=,利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为,可得D到平面ABC的最大距离,再利用勾股定理,即可求出球的半径,即可求出球O的表面积.
解答: 解:设△ABC的外接圆的半径为r,则
∵AB=BC=,AC=3,∴∠BAC=120°,S△ABC=,
∴2r==2
∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为,
∴D到平面ABC的最大距离为3,
设球的半径为R,则R2=3+(3﹣R)2,
∴R=2,
∴球O的表面积为4πR2=16π.
故选:B.
点评:本题考查球的半径,考查体积的计算,确定D到平面ABC的最大距离是关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将直线绕原点顺时针旋转,再向左平移1个单位,所得到的直线的方程为_________.
参考答案:
解:直线绕原点顺时针旋转的直线为,再将向左平移1个单位得,即.
12. 若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω= .
参考答案:
3
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由函数y=sin(ωx+φ)的部分图象求出周期T,从而求出ω的值.
【解答】解:由函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知,
=(x0+)﹣x0=,
∴T=,
即=,
解得ω=3.
故答案为:3.
【点评】本题主要考查了y=Asin(ωx+?)的图象与性质的应用问题,是基础题.
13. 已知数列{an}中,a1=a,an+1=3an+8n+6,若{an)为递增数列,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
(﹣7,+∞)
【考点】8H:数列递推式.
【分析】an+1=3an+8n+6,a1=a,可得:n=1时,a2=3a+14.n≥2时,an=3an﹣1+8n﹣2,相减可得:an+1﹣an+4=3(an﹣an﹣1+4),a=﹣9时,可得an+1﹣an+4=0,数列{an}是单调递减数列,舍去.由数列{an+1﹣an+4}是等比数列,首项为2a+18,公比为3.利用“累加求和”方法可得an,根据{an)为递增数列,因此?n∈N*,an+1>an都成立.解出即可得出.
【解答】解:∵an+1=3an+8n+6,a1=a,
∴n=1时,a2=3a1+14=3a+14.
n≥2时,an=3an﹣1+8n﹣2,
相减可得:an+1﹣an=3an﹣3an﹣1+8,
变形为:an+1﹣an+4=3(an﹣an﹣1+4),
a=﹣9时,可得an+1﹣an+4=0,则an+1﹣an=﹣4,是单调递减数列,舍去.
∴数列{an+1﹣an+4}是等比数列,首项为2a+18,公比为3.
∴an+1﹣an+4=(2a+18)×3n﹣1.
∴an+1﹣an=(2a+18)×3n﹣1﹣4.
∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1
=(2a+18)×(3n﹣2+3n﹣3+…+3+1)﹣4(n﹣1)+a
=(2a+18)×﹣4n+4+a
=(a+9)(3n﹣1﹣1)﹣4n+4+a.
∵{an)为递增数列,∴?n∈N*,an+1>an都成立.
∴(a+9)(3n﹣1)﹣4(n+1)+4+a>(a+9)(3n﹣1﹣1)﹣4n+4+a.
化为:a>﹣9,
∵数列{}单调递减,∴n=1时取得最大值2.
∴a>2﹣9=﹣7.
即a>﹣7.
故答案为:(﹣7,+∞).
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
14. 某校高三年级的学生共1000人,一次测验成绩的分布直方图如右图所示,现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取50人了解情况,则80~90分数段应抽取 人.
参考答案:
20
15. 已知数列与均为等差数列(),且,则 .
参考答案:
20;
16. 已知曲线及点,若曲线上存在相异两点,其到直线的距离分别为和,则 .
参考答案:
14
17. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图,是利用秦九韶算法求一个多项式的值,若输入n、x的值分别为3、 ,则输出v的值为______
参考答案:
【分析】
此程序框图是循环结构图,模拟程序逐层判断,得出结果.
【详解】解: 模拟程序:
的初始值分别为
第1次循环:,,不满足;
第2次循环:,,不满足;
第3次循环:,,满足;
故输出.
【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,解题的关键是要读懂循环结构的流程图,根据判断框内的条件逐步解题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分) 已知函数,.
(Ⅰ)若,求的单调递增区间;
(Ⅱ)若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,
.
令.
解得.
所以的单调递增区间是.……………………7分
(Ⅱ)由
.
因为,所以.
则,.
解得.
又因为函数的最小正周期,且,
所以当时,的最大值为. ………………………………………13分
19. 在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.
【专题】计算题.
【分析】(1)圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,可得圆O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2﹣x﹣y=0.
(2)由,可得直线l与圆O公共点的直角坐标为(0,1),由此求得线l与圆O公共点的极坐标.
【解答】解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
故圆O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2﹣x﹣y=0.
直线l:,即ρsinθ﹣ρcosθ=1,则直线的直角坐标方程为:y﹣x=1,即x﹣y+1=0.
(2)由,可得 ,直线l与圆O公共点的直角坐标为(0,1),
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题.
20. (本小题满分14分).
数列的前n项和为,和满足等式
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:数列是等差数列;
(Ⅲ)若数列满足,求数列的前n项和;
(Ⅳ)设,求证:
参考答案:
解:(I)由已知: …………2分
(II)∵
同除以 …………4分
是以3为首项,1为公差的等差数列. …………6分
(III)由(II)可知, ……………7分
当
经检验,当n=1时也成立 ………………9分 …………10分
解得: …………11分
(Ⅳ)∵
…………14分
21. (本小题满分15分)
已知圆O:与轴负半轴的交点为A,点P在直线l:上,过点P作圆O的切线,切点为T.
(1)若a=8,切点,求直线AP的方程;
(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,又切点T的坐标为,所以,,故直线PT的方程为,即.联立直线l和PT,解得即,所以直线AP的斜率为,故直线AP的方程为,即,即.
(2)设,由PA=2PT,可得,即,即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆,所以问题可转化为直线与圆有公共点,所以,即,解得..
22. (2017?广安模拟)已知函数f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.
(Ⅰ)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)当b=1时,把f(x)用分段函数来表示,分类讨论,求得f(x)≥1的解集.
(Ⅱ)当x∈R时,先求得f(x)的最大值为b2+1,再求得g(x)的最小值