山西省临汾市寨圪塔中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数z满足,其中i为虚数单位,则共轭复数( )
A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i
参考答案:
C
2. 一种零件加工由两道工序组成,第一道工序的废品率是p, 第二道工序的废品率是p, 则零件加工的成品率是 ( )
A.1-p-q B. 1-pq C.1-p-q+pq D.1-p
参考答案:
C
3. 已知一个平面α,l为空间中的任意一条直线,那么在平面α内一定存在直线b使得( )
A. l //b B. l与b相交 C. l与b是异面直线 D. l⊥b
参考答案:
D
当或l∥α时,在平面α内,显然存在直线b使得⊥b;当与α斜交时,只需要b垂直于在平面内的射影即可得到
4. 点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线的准线的距离为,则双曲线的离心率等于( )
A. B.2 C. D.4
参考答案:
点A到抛物线C1的准线的距离为p,适合,, 故选C.
5. 在区间内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间内的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. (5分)(2014?天津学业考试)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m?β,给出下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;
②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;
④若l∥m,则α⊥β
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
C
【分析】: 利用直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断,成立的证明,不成立的可举出反例.
解;①∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又∵m?β,∴l⊥m,①正确.
②由l⊥m推不出l⊥β,②错误.
③当l⊥α,α⊥β时,l可能平行β,也可能在β内,∴l与m的位置关系不能判断,③错误.
④∵l⊥α,l∥m,∴m∥α,又∵m?β,∴α⊥β
故选C
【点评】: 本题主要考查显现,线面,面面位置关系的判断,属于概念题.
7. 如图,已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( )
A. B.3+或 C.2+ D.或2+
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】设正方体的棱长为a,则=,解得a=1.该几何体为正方体截去一角,如图,即可得出.
【解答】解:设正方体的棱长为a,则=,解得a=1.
该几何体为正方体截去一角,如图
则剩余几何体的表面积为S=3×12++
=.
故选:A.
8. 已知数列,若点在经过点的定直线上,则数列的前15项和
A.12 B.32 C.60 D.120
参考答案:
C
略
9. 复数等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
解析:故选A
10. 已知复数是纯虚数,则实数a=( )
A.﹣2 B.4 C.﹣6 D.6
参考答案:
D
【考点】A7:复数代数形式的混合运算.
【分析】化简复数,由纯虚数的定义可得关于a的式子,解之可得.
【解答】解:化简可得复数==,
由纯虚数的定义可得a﹣6=0,2a+3≠0,
解得a=6
故选:D
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,涉及纯虚数的定义,属基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列中,若,(),则 .
参考答案:
略
12. 已知的展开式中,二项式系数和为,各项系数和为,则 .
参考答案:
答案:2
13. 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍,忽听“砰”的一声,讲台上的花盆被打破了,甲说:“是乙不小心闯的祸”乙说:“是丙闯的祸”,丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话,那么这个小朋友是 .
参考答案:
丙
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】运用反证法,假设结论成立,再经过推理与证明,即可得出正确的结论.
【解答】解:假设甲说的是实话,则“是乙不小心闯的祸”正确,丙、丁说的都是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误;
假设乙说的是实话,则“是丙闯的祸”正确,丁说的也是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误;
假设丙说的是实话,则“乙说的不是实话”正确,甲、乙、丁说的都是不实话,
得出丁闯的祸,符合题意;
假设丁说的是实话,则“反正不是我闯的祸”正确,甲、乙、丁中至少有一人说的是实话,
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾,假设错误.
故答案为:丙.
14. 关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根,则实数a的所有可能值为 .
参考答案:
【考点】7H:一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【分析】原方程的根是实根与虚根讨论:(1)对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根,(2)若方程有共轭复数根,则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ,分别求出a的值,从而得到答案.
【解答】解:(1)对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根,则实根中有一个根为1或﹣1,
△=9a2﹣8(a2﹣a)=a(a+8)≥0,得a≤﹣8或a≥0,
将x=1代入方程,得2+3a+a2﹣a=0,即a2+2a+2=0,a无实根;
将x=﹣1代入方程,得2﹣3a+a2﹣a=0,即a2﹣4a+2=0,得a=2±
(2)若方程有共轭复数根,则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ,
△=9a2﹣8(a2﹣a)=a(a+8)<0,得﹣8<a<0 由韦达定理,
有 cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a,
得cosθ=﹣a,
(cosθ+isinθ)(cosθ﹣isinθ)=cos2θ+sin2θ=1=(a2﹣a),
即(a+1)(a﹣2)=0,?a=2或a=﹣1,
a=﹣1时,cosθ=∈[﹣1,1];
a=2不在﹣8<a<0的范围内,舍去.
∴a=﹣1
故答案为:a=2±或﹣1
15. 已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
参考答案:
2
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】可令x=c,代入双曲线的方程,求得y=±,再由题意设出A,B,C,D的坐标,由2|AB|=3|BC|,可得a,b,c的方程,运用离心率公式计算即可得到所求值.
【解答】解:令x=c,代入双曲线的方程可得y=±b=±,
由题意可设A(﹣c,),B(﹣c,﹣),C(c,﹣),D(c,),
由2|AB|=3|BC|,可得
2?=3?2c,即为2b2=3ac,
由b2=c2﹣a2,e=,可得2e2﹣3e﹣2=0,
解得e=2(负的舍去).
故答案为:2.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A,B,C,D的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.
16. 若函数()为偶函数,则的最小正值是 。
参考答案:
略
17. 若,则f(x)的定义域为____________
参考答案:
【分析】
根据幂函数和对数函数的性质即可求得。
【详解】由题解得
【点睛】本题考查函数定义域,属于基础题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱锥P-ABC中,G是的重心.
(1)请在棱AC上确定一点D,使得直线DG//平面PAB,并说明理由;
(2)若,平面PAB⊥平面ABC,,求直线PB与平面PCA所成角的正弦值.
参考答案:
(1)见解析
(2).
【分析】
(1)由题意利用重心的性质和线面平行的判定定理即可确定点D的位置;
(2)由题意利用等体积法求得点B到平面PCA的距离,然后结合几何性质可得线面角的正弦值.
【详解】(1)连接延长交于,连接,
因为是△的重心,所以,
在上取一点使得,连接,则在平面三角形中,
因为平面,平面,所以平面.
(2)取的中点,连接,,
因为,,所以,且
又因为平面平面,平面平面,所以平面,
所以,,由题知,
所以,且,
而,所以平面,
设到平面的距离为,与平面所成角为,
由得:,
,
解得:,所以到平面的距离为,
,
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,直线与平面所成的角的度量等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19. 已知函数,M为不等式的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b时,.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
试题分析:(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.
试题解析:(I)
当时,由得解得;
当时,;
当时,由得解得.
所以的解集.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,,从而
,
因此
【考点】绝对值不等式,不等式证明.
【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法:
(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应的方程的根,将数轴分为,,(此处设)三个部分,在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)图象法:作出函数和的图象,结合图象求解.
20. 已知函数f(x)=lnx﹣ax2+x,a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函数g(x)的极值.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;
(2)求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,求出函数的极值即可.
【解答】解:(1)当a=0时,f(x)=lnx+x,
则f(1)=1,所以切点为(1,1),
又f′(x)=+1,则切线斜率k=f′(1)=2,
故切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0;
(2)g(x)=f(x)﹣(ax﹣1)=lnx﹣ax2+(1﹣a)x+1,
所以g′(x)=﹣ax+(1﹣a)=,
当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,无极值;
当a>0时,g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=,
所以当x∈(0,)时,g′(x)>0;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,
因此函数g(x)在x∈(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数,
当a>0时,函数g(x)的递增区间是(0,),递减区间是(,+∞),
∴x=时,g(x)有极大值g()=﹣lna,
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;
当a>0时,函数g(x)有极大值﹣lna,无极小值.
【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道综合题.
21. (本小题满分12分)
已知函数,