广东省潮州市虹桥职业中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2a5=2a3,且a4与2a7的等差中项为,则S5=( )
A.29 B.31 C.33 D.36
参考答案:
B
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】利用a2?a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,求出数列的首项与公比,再利用等比数列的求和公式,即可得出结论.
【解答】解:∵数列{an}是等比数列,a2?a3=2a1=a1q?=a1?a4,
∴a4=2.
∵a4与2a7的等差中项为,
∴a4 +2a7 =,
故有a7 =.
∴q3==,
∴q=,
∴a1==16.
∴S5==31.
故选:B.
2. 执行如图的算法程序框图,输出的结果是( )
A.211﹣2 B.211﹣1 C.210﹣2 D.210﹣1
参考答案:
A
【考点】EF:程序框图.
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:当k=1时,满足进行循环的条件,s=22﹣2,k=2;
当k=2时,满足进行循环的条件,s=23﹣2,k=3;
当k=3时,满足进行循环的条件,s=24﹣2,k=4;
当k=4时,满足进行循环的条件,s=25﹣2,k=5;
当k=5时,满足进行循环的条件,s=26﹣2,k=6;
当k=6时,满足进行循环的条件,s=27﹣2,k=7;
当k=7时,满足进行循环的条件,s=28﹣2,k=8;
当k=8时,满足进行循环的条件,s=29﹣2,k=9
当k=9时,满足进行循环的条件,s=210﹣2,k=10;
当k=10时,满足进行循环的条件,s=211﹣2,k=11;
当k=11时,不满足行循环的条件,
故输出的s值为211﹣2,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.
3. 下列四个命题,其中正确命题的个数( )
①若a>|b|,则a2>b2
②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d
③若a>b,c>d,则ac>bd
④若a>b>o,则>.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】综合题;转化思想;分析法;不等式的解法及应用.
【分析】直接由不等式的可乘积性判断①;举例说明②③④错误.
【解答】解:①若a>|b|,则a2>b2,①正确;
②若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d错误,如3>2,﹣1>﹣3,而3﹣(﹣1)=4<5=2﹣(﹣3);
③若a>b,c>d,则ac>bd错误,如3>1,﹣2>﹣3,而3×(﹣2)<1×(﹣3);
④若a>b>o,则,当c>0时,<,④错误.
∴正确命题的个数只有1个.
故选:C.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了不等式的基本性质,是基础题.
4. 已知数列为等比数列,是它的前项和。若,且与的等差中项为则( )
A.35 B.33 C.31 D.29
参考答案:
C
5. 则 ( )
A. << B. << C. D. <<
参考答案:
C
6. (5分)设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】: 双曲线的简单性质.
【专题】: 计算题.
【分析】: 先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长,再由已知圆的半径为半焦距,知焦点三角形为直角三角形,从而由勾股定理得关于a、c的等式,求得离心率
解:依据双曲线的定义:|PF1|﹣|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|,
∴|PF1|=3a,|PF2|=a,
∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c,
∴F1F2是圆的直径,
∴∠F1PF2=90°
在直角三角形F1PF2中
由(3a)2+a2=(2c)2,得
故选 D
【点评】: 本题考查了双曲线的定义,双曲线的几何性质,离心率的求法
7. 分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2﹣ac<3c2,则证明的依据应是( )
A.c﹣b>0 B.c﹣a>0 C.(c﹣b)(c﹣a)>0 D.(c﹣b)(c﹣a)<0
参考答案:
C
【考点】R8:综合法与分析法(选修).
【分析】把b=﹣a﹣c代入不等式,利用因式分解得出使不等式成立的条件即可.
【解答】解:∵a+b+c=0,∴b=﹣a﹣c.
要证:b2﹣ac<3c2,
只需证:(﹣a﹣c)2﹣ac<3c2,
即证:a2+ac﹣2c2<0,
即证:a2﹣c2+ac﹣c2<0,
即证:(a+c)(a﹣c)+c(a﹣c)<0,
即证:(a﹣c)(a+c+c)<0,
即证:(c﹣a)(c﹣b)>0.
故选C.
【点评】本题考查了分析法证明,属于中档题.
8. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,4,5},则集合?U(A∩B)=( )
A.{3} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,4,5}
参考答案:
D
考点: 交、并、补集的混合运算.
分析: 根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解.
解答: 解:A={1,3},B={3,4,5}?A∩B={3};
所以CU(A∩B)={1,2,4,5},
故选D
点评: 本题考查集合的基本运算,较简单.
9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18﹣a5,则S8=( )
A.18 B.36 C.54 D.72
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,代入求和公式可得.
【解答】解:由题意可得a4+a5=18,
由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,
∴S8===72
故选:D
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
10. i为虚数单位,
(A)0 (B)2i (C)-2i (D)4i
参考答案:
A
本题主要考查了复数代数形式的四则运算,难度较小。,故选A。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (13)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为_______。
参考答案:
等式平方得:
则,即
得
12. 已知点P(x0, y0) 在椭圆C:(a>b>0)上,如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点P称为切点,这条切线方程可以表示为:.
根据以上性质,解决以下问题:
已知椭圆L:,若Q(u,v)是椭圆L外一点(其中u,v为定值),经过Q点作椭圆L的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程是 ▲ .
参考答案:
13. 某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取—个容量为的样本,已知从女生中抽取的人数为80,则等于 ·
参考答案:
192
14. 已知点P到△ABC的三个顶点的距离相等,且,则·等于 。
参考答案:
略
15. 已知函数,设a∈R,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是___________.
参考答案:
16. 设且,若函数的反函数的图像经过定点,则点的坐标
是___________.
参考答案:
(3,1)
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.
【试题分析】因为函数经过定点(1,3),根据互为反函数的两个函数之间的关系知,函数的反函数经过定点(3,1),故答案为(3,1).
17. 已知,则的值等于 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 (为参数),
以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为=2.
(Ⅰ)分别写出 的普通方程, 的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知M,N分别为曲线 的上、下顶点,点P为曲线 上任意一点,求 的最大值.
参考答案:
(Ⅰ),(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)由将参数方程化为普通方程,由将=2化为普通方程;(Ⅱ)由点到直线的距离公式求出的表达式,再由二次函数求最值.
试题解析:(1)曲线的普通方程为,……………………2分
曲线的普通方程为. ……………………4分
(2)法一:由曲线:,可得其参数方程为,所以点坐标为,由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时,有最大值28,……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
法二:设点坐标为,则,由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时,有最大值28,……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.两点间的距离公式;3.二次函数求最值.
19. 已知椭圆γ:=1(常数a>1)的左顶点R,点A(a,1),B(﹣a,1),O为坐标原点;
(1)若P是椭圆γ上任意一点,,求m2+n2的值;
(2)设Q是椭圆γ上任意一点,S(3a,0),求的取值范围;
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆γ上的两个动点,满足kOM?kON=kOA?kOB,试探究△OMN的面积是否为定值,说明理由.
参考答案:
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(1)根据A与B坐标化简已知等式,确定出P坐标,由P在椭圆上列出关系式,求出所求式子的值即可;
(2)设Q(x,y),利用平面向量数量积运算法则表示出?,配方后求出?的最大值与最小值,即可确定出?的范围;
(3)根据题意,利用斜率公式得到=﹣,两边平方,整理得到x12+x22=a2,表示出三角形OMN的面积,整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值.
解答: 解:(1)∵点A(a,1),B(﹣a,1),O为坐标原点,
∴=m+n=(ma﹣na,m+n),
即P(ma﹣na,m+n),
把P坐标代入椭圆方程得:(m﹣n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=;
(2)设Q(x,y),
则?=(3a﹣x,﹣y)?(﹣a﹣x,﹣y)
=(x﹣3a)(x+a)+y2
=(x﹣3a)(x+a)+1﹣
=x2﹣2ax+1﹣3a2
=(x﹣)2﹣(﹣a≤x≤a),
由a>1,得>a,
∴当x=﹣a时,?的最大值为0;
当x=a时,?的最小值为﹣4a2,
则?的范围为[﹣4a2,0];
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆γ上的两个动点,满足kOM?kON=kOA?kOB,
由条件得:=﹣,
平方得:x12x22=a4y12y22=(a2﹣x12)(a2﹣x22),即