浙江省温州市巽宅中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足,则的最大值为( ▲ )
A. B. C. D.3
参考答案:
D
2. 已知集合A={1,2,3,4},B={5,6},设映射f:A→B使集合B中的元素在A中都有原象,这样的映射个数共有( )
A.16 B.14 C.15 D.12
参考答案:
B
略
3. 已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于( )
A. B.5 C.7 D.
参考答案:
D
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线焦点的位置可得,解可得a的范围,又由其焦距为4,即c=2,由双曲线的几何性质可得c2=(2﹣a)+(3﹣a)=4,解可得a的值.
【解答】解:根据题意,双曲线+=1,焦点在y轴上,
则有,解可得a<2,
又由其焦距为4,即c=2,
则有c2=(2﹣a)+(3﹣a)=4,
解可得a=;
故选:D.
4. 设函数f(x)=,若f[f()]=4,则b=( )
A.1 B.﹣ C.﹣或1 D.﹣1
参考答案:
D
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】直接利用分段函数,通过解方程求解函数值即可.
【解答】解:函数f(x)=,若f[f()]=4,
f(1﹣b)=4.
当1﹣b<1即b>0时,3(1﹣b)﹣b=4,解得b=﹣,(舍去);
当b≤0时,21﹣b=4,解得b=﹣1.
故选:D.
【点评】本题考查分段函数的应用,函数的零点以及方程根的关系,考查计算能力.
5. 函数在[-2,2]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据函数的特点,结合选项的图象特征,利用特殊值进行验证排除确定.
【详解】因,排除B,D.
又因为,排除C.
故选:A
【点睛】本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析,特殊法应用的能力,属于中档题.
6. 已知R上的单调函数满足,则实数a的取值范围是( )
A. B. (0,1) C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据可求得,可知在时单调递减,从而得到在上单调递减;根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组,解不等式组求得结果.
【详解】 当时,单调递减
为上的单调函数 ,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题,关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调,且在临界点位置大小关系满足单调性,属于常考题型.
7. 已知a,b,c为三条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若,,则
B. 若,,,则
C. 若,,则
D. 若,,,,则
参考答案:
D
【分析】
由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可.
【详解】A, 若,,则或,故A不正确.
B, 若,,,则或与相交,故B不正确.
C,若,,则或,故C不正确.
D,如图,由可得,易证,故D正确.
【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时,一定要保证条件完整才能推出结论.
8. 已知函数,且在上是增函数,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知集合,集合,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
10. 下列函数中,对于任意,同时满足条件和的函数是
(A) (C)
(B) (D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知曲线
参考答案:
-6
12. 已知为等差数列,为其前项和.若,,则 ;= .
参考答案:
1,
,所以,。
13. 已知向量,,若向量与垂直,则m= .
参考答案:
1
14. 的二项展开式中含的项是 (的系数用数值表示).
参考答案:
15. 若函数f(x)=x2+ax﹣1是偶函数,则a= .
参考答案:
0
考点:函数奇偶性的性质.
专题:计算题.
分析:由偶函数的定义f(﹣x)=f(x)即可求得a的值.
解答: 解:∵f(x)=x2+ax﹣1是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x).
即(﹣x)2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1,
∴2ax=0,又x不恒为0,
∴a=0.
故答案为:0.
点评:本题考查函数奇偶性的性质,利用偶函数的定义求得2ax=0是关键,属于基础题.
16. 已知平面向量满足,,与的夹角为,以为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
参考答案:
17. 已知
,通过类比可推测m,n的值,则的值为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若以直角坐标系xOy的O为极点,Ox为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程是ρ=.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l的参数方程为(t为参数),当直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
参考答案:
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=ρcosθ,由此能求出曲线C的直角坐标方程,并得到曲线C是以x轴为对称轴,开口向右的抛物线.
(2)直线l的参数方程消去参数t,得直线l的直角坐标方程为,代入y2=x,得:2y2﹣2y﹣3=0,由此利用弦长公式能求出|AB|.
【解答】解:(1)∵曲线C的极坐标方程是ρ=,
∴ρ2sin2θ=ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=x,
∴曲线C是以x轴为对称轴,开口向右的抛物线.
(2)∵直线l的参数方程(t为参数),
∴消去参数t,得直线l的直角坐标方程为,
代入y2=x,整理,得:2y2﹣2y﹣3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=﹣,
∴|AB|==.
19. 今有4种股票和3种基金,李先生欲购买其中的任意3种产品.
(1)求李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率;
(2)记购买的3种产品中,包含基金的种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
参考答案:
解:(1)设事件A表示“李先生所购买的3种产品中,恰好只含一种基金” …1分
…………3分
答:李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率为…………4分Ks5u
(2)…………5分
…………9分
…………12分
20. (本小题14分)记函数的定义域为,
的定义域为.若,求实数的取值范围.
参考答案:
解析:
------------------------------------------------------5分
要使,则 -------------------------------------------10分
则或------------------------------------------------------------14分
21. 在△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知=(cosB,cosC),=(2a+c,b)且⊥.
(1)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
(2)y=sin2A+sin2C的取值范围.
参考答案:
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理.
【分析】(1)根据向量垂直的坐标公式进行化简求出B的大小,结合三角形的面积公式进行求解即可.
(2)利用三角函数的倍角公式结合两角和差的正弦公式,以及三角函数的性质进行求解即可.
【解答】解:(1)∵⊥,
∴?=cosB(2a+c)+bcosC=0,
即2acosB+ccosB+bcosC=0,
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sin(B+C)=0,
即2sinAcosB+sinA=0,
∴2cosB+1=0,则cosB=﹣,
则B=,
若b=,a+c=4,
则b2=a2+c2﹣2accosB,
即13=(a+c)2﹣2ac+ac=16﹣ac,
则ac=3,
则△ABC的面积S=acsinB==.
(2)∵B=,∴A+C=,A=﹣C,
则0<C<,
sin2A+sin2C=+
=1﹣×2cos(A+C)cos(A﹣C)
=1﹣cos(A﹣C)
=1﹣cos(﹣2C),
∵0<C<,
∴0<2C<,
则﹣<﹣2C<0,﹣<﹣2C<,
则<cos(﹣2C)≤1,
即<cos(﹣2C)≤,
则﹣≤﹣cos(﹣2C)<,
则≤1﹣cos(﹣2C)<
∴sin2A+sin2C的取值范围是[,).
【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22. 如图,过抛物线
(为常数>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。
⑴设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;
⑵求弦AB中点M的轨迹方程。
参考答案:
⑴.∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为()······················2分
∴联立方程 解得
以代上式中的,解方程组
解得
∴A(,),B(,)。···················8分
⑵.设AB中点M(x,y),则由中点坐标公式,得
消去参数k,得 即为M点轨迹的普通方程。··············14分