湖北省十堰市文武学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,,则△的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 若(,i为虚数单位),则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
A
【分析】
化简可得,根据两复数相等的原则,解出a,b,即可得结果
【详解】由题意得,
所以,
所以,所以复数在复平面内对应的点为(3,-2)在第四象限
【点睛】本题考查两复数相等的概念,即两复数实部与实部相等,虚部与虚部相等,属基础题。
3. 要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
参考答案:
B
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.
【解答】解:因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],
要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.
故选:B.
【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中x的系数是易错点.
4. 若函数在[-1,1]上有零点,则的最小值为 ▲ .
参考答案:
设函数的零点为,则由得到,
所以,
,
当时,有最小值,故填.
5. 从区间内随机取出一个数,从区间内随机取出一个数,则使得的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6.
已知为平面内的一个区域.
命题甲:点;命题乙:点.如果甲是乙的充分条件,那么区域的面积的最小值是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
答案:B
7. 给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称函数在D上存在二阶导函数,记.若在D上恒成立,则称函数在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是 ( )
A.=sin x+cos x B.=ln x-2x
C.=-x3+2x-1 D.=-xe-x
参考答案:
D
略
8. 设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则A∩(CUB)等于( )
A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3}
参考答案:
D
,所以,选D.
9. 已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线上,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 已知过双曲线(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P,若E为线段EP的中点,则该双曲线的离心率为( )
A.+1 B. C. D.
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意,P(c,2b),代入双曲线方程,即可转化求出该双曲线的离心率.
【解答】解:由题意过双曲线的左焦点F(﹣c,0)和虚轴端点E的直线交双曲线右支于点P,若E为线段EP的中点,可得P(c,2b),
由双曲线方程,可得=1,
∴e=,
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3﹣m)y﹣3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为 .
参考答案:
考点: 几何概型.
专题: 概率与统计.
分析: 由题意,分别令x,y=0可得截距,进而可得××<,解不等式可得m的范围,由几何概型求出相等长的比值即可.
解答: 解:∵m∈(0,3),∴m+2>0,3﹣m>0
令x=0,可解得y=,令y=0,可解得x=,
故可得三角形的面积为S=××,
由题意可得××<,即m2﹣m﹣2<0,
解得﹣1<m<2,结合m∈(0,3)可得m∈(0,2),
故m总的基本事件为长为3的线段,满足题意的基本事件为长为2的线段,
故可得所求概率为:
故答案为:
点评: 本题考查几何概型的求解决,涉及直线的方程和一元二次不等式的解集,属中档题.
12. 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是________(用数字作答).
参考答案:
解析:本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有
种方案,再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体,有种插法,
∴不同的安排方案共有种。
13. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).
参考答案:
14. 已知函数若三个正实数互不相等,且满足
,则的取值范围是
参考答案:
15. 若是幂函数,且满足=3,则= ;
参考答案:
16. 若直线与曲线相切,则m=________.
参考答案:
14或﹣18
【分析】
因为切点既在曲线上,又在切线上,所以由导数可求得切线得斜率。联立方程组解得即可。
【详解】解:的导数为,直线与曲线相切,
设切点为,可得,即有;.
故答案为:14或﹣18.
【点睛】本题主要考查利用导数求解计算出曲线方程。对于涉及到切线或单调性的问题时,要有求导意识。
17. 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n=________时,Sn取得最大值.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知四棱锥的底面是菱形,,为边的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求四棱锥的体积.
参考答案:
证明:
(1)证明:连接,因为底面是菱形,,所以是正三角形,
所以,因为为的中点,,
所以,且,
所以平面,
又平面,所以平面平面;
(2)因为是正三角形,所以,
在中,,所以,
又,所以,
所以,即,
又,且,所以平面,
因为,
所以四棱锥的体积为.
19. 某地区某长产品近几年的产量统计如表:
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代码t
1
2
3
4
5
6
年产量y(万吨)
6.6
6.7
7
7.1
7.2
7.4
(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程;
(2)若近几年该农产品每千克的价格v(单位:元)与年产量y满足的函数关系式为,且每年该农产品都能售完.
①根据(1)中所建立的回归方程预测该地区2018()年该农产品的产量;
②当t()为何值时,销售额s最大?
附:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
参考答案:
(1)由题意可知:
,,
,
,
,
又,
∴关于的线性回归方程为.
(2)①由(1)知,,当时,,即2018年该农产品的产量为7.56万吨.
②当年产量为时,销售额(万元),
当时,函数取得最大值,又因,
计算得当,即时,即年销售额最大.
20. 甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪70元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成5元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如表频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
20
40
20
10
10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
20
20
40
10
(Ⅰ)现从甲公司记录的100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;
(Ⅱ)若将频率视为概率,回答下列问题:
(i)记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
(ii)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ) 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M,可得P(M)=.
(Ⅱ)(ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为a,可得当a=38时,X=38×5=190,以此类推可得:当a=39时,当a=40时,X的值.当a=41时,X=40×5+1×7,同理可得:当a=42时,X=214.所以X的所有可能取值为190,1195,200,207,214.可得X的分布列及其数学期望.
(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5.可得甲公司送餐员日平均工资,与乙数学期望比较即可得出.
【解答】解:(Ⅰ) 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M,
则P(M)==.
(Ⅱ)(ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为a,
则当a=38时,X=38×5=190,
当a=39时,X=39×5=195,
当a=40时,X=40×5=200,
当a=41时,X=40×5+1×7=207,
当a=42时,X=40×5+2×7=214.
所以X的所有可能取值为190,195,200,207,214.故X的分布列为:
X
190
195
200
207
214
P
∴E(X)=190×+195×+200×+207×+214×=.
(ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5.
所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元.
由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为192.2元.
因为192.2<228,故推荐小明去甲公司应聘.
21. (本小题满分14分)
已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线 在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中是的导函数.证明:对任意,
.
参考答案:
(Ⅰ),依题意,为所求. …………4分
(Ⅱ)此时
记,,所以在,单减,又,
所以,当时,,,单增;
当 时,,,单减.
所以,增区间为(0,1);减区间为(1,.…………9分
(Ⅲ),先研究,再研究. ① 记,,令,得,
当,时,,单增;
当,时,,单减 .
所以,,即.
② 记,,所以在,单减,
所以,,即
综①、②知,.……14分
22. 如图,四棱锥P-ABCD中,△ PAD为正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°, PA⊥CD,E为棱PB的中点.
(1)求证:平面PAB⊥平面CDE;
(2)若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A-DE-C的余弦值.
参考答案:
(1)取中点,连接,.
为中点,