2022年安徽省淮北市北山中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是上的减函数,那么的取值范围是( )
参考答案:
D
略
2. 在长方体中,.若分别为线段, 的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 若且,且,则实数的取值范围( )
A. B.
C. 或 D. 或
参考答案:
C
4. 已知函数的值域为R,则的取值范围是( )
A. B C.或 D.或
参考答案:
C
略
5. 下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】证明题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断;
【解答】解:A、y= 在(﹣1,+∞)是减函数,故A错误,
B、∵y=log2t为增函数,t=在(1,+∞)为增函数,在(﹣∞,﹣1)为减函数,
∴log2在(1,+∞)为增函数,在(﹣∞,﹣1)为减函数,故B错误,
C、∵y=log2,当x>0,为减函数,故C错误;
D、∵y=log0.2t为减函数,t=4﹣x2在(﹣2,﹣0)为增函数,在(0,2)为减函数,
∴y=log0.2(4﹣x2)在(﹣2,﹣0)为减函数,在(0,2)为增函数,故D正确.
故选:D.
【点评】此题主要考查函数的单调性的判断与证明,此题考查的函数都比较简单,是一道基础题.
6. 如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,侧面积为8,则它的体积为( )
A.4 B.8 C.12π D.16π
参考答案:
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】作PO⊥平面ABCD,取BC中点E,连结OE,PE,求出PE=2,从而PO=1,由此能求出正四棱锥P﹣ABCD的体积.
【解答】解:作PO⊥平面ABCD,取BC中点E,连结OE,PE,
∵正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,侧面积为8,
∴O是四边形ABCD的中点,E是BC的中点,PE⊥BC,
4×BC×PE=8,解得PE=2,
∴PO===1,
∴正四棱锥P﹣ABCD的体积V=
==4.
故选:A.
7. 若,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 直线的倾斜角是( ).
A. B. C. D .
参考答案:
D
9. 向量,若∥,则x的值是( )
A. -8 B. -2 C. 2 D. 8
参考答案:
C
由题意,得,解得;故选C.
10. 用二分法计算在内的根的过程中:令f(x)= 得,,,,则方程的根落在区间( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算: .
参考答案:
12. 设正数a,b满足,则a=_____;b=_____.
参考答案:
1
【分析】
根据基本不等式求解.
【详解】
当且仅当且即时,“=”成立.
所以.
【点睛】本题考查基本不等式.
13. 在△ABC中,若a,b,c成等比数列,则cos2B+cosB+cos(A﹣C)= _________ .
参考答案:
1
14. 集合,集合,则 ▲ .
参考答案:
15. 正数、满足,那么的最小值等于___________.
参考答案:
4
16. 如果圆心角为的扇形所对的弦长为,则扇形的面积为_________.
参考答案:
略
17. 若,是第四象限角,则=________
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在锐角△ABC中,.
(1)求角A;
(2)若a=,当sinB+cos(﹣C)取得最大值时,求B和b.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用;三角函数的最值.
【分析】(1)由余弦定理,结合条件,可得sin2A=1,即可求角A;
(2)先得出B=时,sinB+cos(﹣C)取得最大值,再利用正弦定理,即可得出结论.
【解答】解:(1)由余弦定理可得=
∵△ABC是锐角三角形,
∴cosB>0,
∴sin2A=1,
∴2A=,
∴A=;
(2)由(1)知,B+C=,
∴sinB+cos(﹣C)=sinB+cos(B﹣)=sinB+cosBcos+sinBsin
=sinB+cosB=sin(B+)
∵0<﹣B<,0<B<,
∴<B<,
∴<B+<,
∴B+=,即B=时,sinB+cos(﹣C)取得最大值,
由正弦定理可得b===.
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦定理、余弦定理是关键.
19. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆及其上一点A(2,4).
①设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.
②设点T (t,0)满足存在圆M上的两点P和Q,使得四边形ATPQ为平行四边形,求实数的取值范围.
参考答案:
解:①圆M的标准方程为:,则圆心为,.
设,半径为r,则M,N在同一竖直线上.
则,,
即圆N的标准方程为.
②∵四边形为平行四边形,
∴,
∵P,Q在圆M上,
∴,
则,
即.
20. 对于函数若f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0),存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的“希望值”.
(1)当a=2,b=﹣2时,求f(x)的希望值;
(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有希望值,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质;函数的值.
【专题】计算题;新定义;方程思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)设x为希望值,则有2x2﹣x﹣4=x,变形为2x2﹣2x﹣4=0,解方程即可.
(2)将f(x)=x转化为ax2+bx+b﹣2=0.由已知,此方程有实根,则有△x≥0恒成立求解;
【解答】解∵f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0),
(1)当a=2,b=﹣2时,f(x)=2x2﹣x﹣4.
设x为其不动点,即2x2﹣x﹣4=x.
则2x2﹣2x﹣4=0.∴x1=﹣1,x2=2.即f(x)的不动点是﹣1,2.
(2)由f(x)=x得:ax2+bx+b﹣2=0.
由已知,此方程有实根,△x≥0恒成立,
即b2﹣4a(b﹣2)≥0.
即b2﹣4ab+8a≥0对任意b∈R恒成立.
∴△b≤0.,
∴16a2﹣32a≤0,
∴0≤a≤2.
【点评】本题主要考查的知识点是二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及垂直平分线定义的应用.其中根据已知中的新定义,构造满足条件的方程是解答本题的关键.
21. 已知等比数列{an}满足a1=2,a2=4(a3﹣a4),数列{bn}满足bn=3﹣2log2an.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若λ>0,求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范围.
参考答案:
【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,根据a1=2,a2=4(a3﹣a4),可得a2=4a2(q﹣q2),化简解得q.可得an.利用对数的运算性质可得bn.
(2)cn===.利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出.
(3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n?(2n﹣1),令dn=22﹣2n?(2n﹣1),通过作差可得:dn+1<dn,即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1.根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,可得2λ2﹣kλ+2>1,根据λ>0.可得k<2,再利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,∵a1=2,a2=4(a3﹣a4),
∴a2=4a2(q﹣q2),化为:4q2﹣4q+1=0,解得q=.
∴an==22﹣n.
∴bn=3﹣2log2an=3﹣2(2﹣n)=2n﹣1.
(2)cn===.
∴数列{cn}的前n项和Sn= [2+3?22+5×23+…+(2n﹣1)?2n],
∴2Sn= [22+3?23+…+(2n﹣3)?2n+(2n﹣1)?2n+1],
∴﹣Sn==,
可得:Sn=.
(3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n?(2n﹣1),
令dn=22﹣2n?(2n﹣1),则dn+1﹣dn=﹣==<0,
因此dn+1<dn,即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1.
∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,
∴2λ2﹣kλ+2>1,∵λ>0.
∴k<2,∵2≥2=2,当且仅当λ=时取等号.
∴.
即k的取值范围是.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、基本不等式的性质、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
22. 如图所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形,且平面ABC, F、F1分别是AC、A1C1的中点.
求证:(1)平面平面;
(2)平面平面.
参考答案:
(1)见解析.(2)见解析.
【分析】
(1)由分别是的中点,证得,由线面平行的判定定理,可得平面,平面,再根据面面平行的判定定理,即可证得平面平面.
(2)利用线面垂直的判定定理,可得平面,再利用面面垂直的判定定理,即可得到平面平面.
【详解】(1)在三棱柱中,
因为分别是的中点,所以,
根据线面平行的判定定理,可得平面,平面
又,
∴平面平面.
(2)在三棱柱中,平面,所以,
又,,所以平面,
而平面,所以平面平面.
【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.