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2022年安徽省淮北市北山中学高一数学文联考试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知是上的减函数,那么的取值范围是(    )                        参考答案: D 略 2. 在长方体中,.若分别为线段, 的中点,则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A.               B.              C. D. 参考答案: C 3. 若且,且,则实数的取值范围(   ) A.     B. C. 或    D. 或 参考答案: C 4. 已知函数的值域为R,则的取值范围是(       ) A.    B   C.或    D.或 参考答案: C 略 5. 下列函数中,在(0,2)上为增函数的是(     ) A. B. C. D. 参考答案: D 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】证明题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断; 【解答】解:A、y= 在(﹣1,+∞)是减函数,故A错误, B、∵y=log2t为增函数,t=在(1,+∞)为增函数,在(﹣∞,﹣1)为减函数, ∴log2在(1,+∞)为增函数,在(﹣∞,﹣1)为减函数,故B错误, C、∵y=log2,当x>0,为减函数,故C错误; D、∵y=log0.2t为减函数,t=4﹣x2在(﹣2,﹣0)为增函数,在(0,2)为减函数, ∴y=log0.2(4﹣x2)在(﹣2,﹣0)为减函数,在(0,2)为增函数,故D正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查函数的单调性的判断与证明,此题考查的函数都比较简单,是一道基础题. 6. 如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,侧面积为8,则它的体积为(  ) A.4 B.8 C.12π D.16π 参考答案: A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】作PO⊥平面ABCD,取BC中点E,连结OE,PE,求出PE=2,从而PO=1,由此能求出正四棱锥P﹣ABCD的体积. 【解答】解:作PO⊥平面ABCD,取BC中点E,连结OE,PE, ∵正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,侧面积为8, ∴O是四边形ABCD的中点,E是BC的中点,PE⊥BC, 4×BC×PE=8,解得PE=2, ∴PO===1, ∴正四棱锥P﹣ABCD的体积V= ==4. 故选:A. 7. 若,则的取值范围是               (      ) A.          B.        C.        D. 参考答案: B 8. 直线的倾斜角是(   ).  A.          B.          C.         D . 参考答案: D 9. 向量,若∥,则x的值是(     ) A. -8 B. -2 C. 2 D. 8 参考答案: C 由题意,得,解得;故选C. 10. 用二分法计算在内的根的过程中:令f(x)= 得,,,,则方程的根落在区间(    ) A、      B、     C、      D、 参考答案: D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算:                     . 参考答案: 12. 设正数a,b满足,则a=_____;b=_____. 参考答案: 1     【分析】 根据基本不等式求解. 【详解】 当且仅当且即时,“=”成立. 所以. 【点睛】本题考查基本不等式. 13. 在△ABC中,若a,b,c成等比数列,则cos2B+cosB+cos(A﹣C)= _________ . 参考答案: 1 14. 集合,集合,则   ▲     . 参考答案: 15. 正数、满足,那么的最小值等于___________. 参考答案: 4 16. 如果圆心角为的扇形所对的弦长为,则扇形的面积为_________. 参考答案: 略 17. 若,是第四象限角,则=________ 参考答案: 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 在锐角△ABC中,. (1)求角A; (2)若a=,当sinB+cos(﹣C)取得最大值时,求B和b. 参考答案: 【考点】余弦定理的应用;三角函数的最值. 【分析】(1)由余弦定理,结合条件,可得sin2A=1,即可求角A; (2)先得出B=时,sinB+cos(﹣C)取得最大值,再利用正弦定理,即可得出结论. 【解答】解:(1)由余弦定理可得= ∵△ABC是锐角三角形, ∴cosB>0, ∴sin2A=1, ∴2A=, ∴A=; (2)由(1)知,B+C=, ∴sinB+cos(﹣C)=sinB+cos(B﹣)=sinB+cosBcos+sinBsin =sinB+cosB=sin(B+) ∵0<﹣B<,0<B<, ∴<B<, ∴<B+<, ∴B+=,即B=时,sinB+cos(﹣C)取得最大值, 由正弦定理可得b===. 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦定理、余弦定理是关键. 19. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆及其上一点A(2,4). ①设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程. ②设点T (t,0)满足存在圆M上的两点P和Q,使得四边形ATPQ为平行四边形,求实数的取值范围. 参考答案: 解:①圆M的标准方程为:,则圆心为,. 设,半径为r,则M,N在同一竖直线上. 则,, 即圆N的标准方程为. ②∵四边形为平行四边形, ∴, ∵P,Q在圆M上, ∴, 则, 即. 20. 对于函数若f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0),存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的“希望值”. (1)当a=2,b=﹣2时,求f(x)的希望值; (2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有希望值,求实数a的取值范围. 参考答案: 【考点】二次函数的性质;函数的值. 【专题】计算题;新定义;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】(1)设x为希望值,则有2x2﹣x﹣4=x,变形为2x2﹣2x﹣4=0,解方程即可. (2)将f(x)=x转化为ax2+bx+b﹣2=0.由已知,此方程有实根,则有△x≥0恒成立求解; 【解答】解∵f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣2(a≠0), (1)当a=2,b=﹣2时,f(x)=2x2﹣x﹣4. 设x为其不动点,即2x2﹣x﹣4=x. 则2x2﹣2x﹣4=0.∴x1=﹣1,x2=2.即f(x)的不动点是﹣1,2. (2)由f(x)=x得:ax2+bx+b﹣2=0. 由已知,此方程有实根,△x≥0恒成立, 即b2﹣4a(b﹣2)≥0. 即b2﹣4ab+8a≥0对任意b∈R恒成立. ∴△b≤0., ∴16a2﹣32a≤0, ∴0≤a≤2. 【点评】本题主要考查的知识点是二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及垂直平分线定义的应用.其中根据已知中的新定义,构造满足条件的方程是解答本题的关键. 21. 已知等比数列{an}满足a1=2,a2=4(a3﹣a4),数列{bn}满足bn=3﹣2log2an. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn; (3)若λ>0,求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范围. 参考答案: 【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,根据a1=2,a2=4(a3﹣a4),可得a2=4a2(q﹣q2),化简解得q.可得an.利用对数的运算性质可得bn. (2)cn===.利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出. (3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n?(2n﹣1),令dn=22﹣2n?(2n﹣1),通过作差可得:dn+1<dn,即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1.根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,可得2λ2﹣kλ+2>1,根据λ>0.可得k<2,再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,∵a1=2,a2=4(a3﹣a4), ∴a2=4a2(q﹣q2),化为:4q2﹣4q+1=0,解得q=. ∴an==22﹣n. ∴bn=3﹣2log2an=3﹣2(2﹣n)=2n﹣1. (2)cn===. ∴数列{cn}的前n项和Sn= [2+3?22+5×23+…+(2n﹣1)?2n], ∴2Sn= [22+3?23+…+(2n﹣3)?2n+(2n﹣1)?2n+1], ∴﹣Sn==, 可得:Sn=. (3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n?(2n﹣1), 令dn=22﹣2n?(2n﹣1),则dn+1﹣dn=﹣==<0, 因此dn+1<dn,即数列{dn}单调递减,因此n=1时dn取得最大值d1=1. ∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立, ∴2λ2﹣kλ+2>1,∵λ>0. ∴k<2,∵2≥2=2,当且仅当λ=时取等号. ∴. 即k的取值范围是. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、基本不等式的性质、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.   22. 如图所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形,且平面ABC, F、F1分别是AC、A1C1的中点. 求证:(1)平面平面; (2)平面平面. 参考答案: (1)见解析.(2)见解析. 【分析】 (1)由分别是的中点,证得,由线面平行的判定定理,可得平面,平面,再根据面面平行的判定定理,即可证得平面平面. (2)利用线面垂直的判定定理,可得平面,再利用面面垂直的判定定理,即可得到平面平面. 【详解】(1)在三棱柱中, 因为分别是的中点,所以, 根据线面平行的判定定理,可得平面,平面 又, ∴平面平面. (2)在三棱柱中,平面,所以, 又,,所以平面, 而平面,所以平面平面. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
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