广西壮族自治区南宁市二十八中学高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合为正整数},则M的所有非空真子集的个数是( )
A. 30 B. 31 C. 510 D. 511
参考答案:
C
【分析】
根据为正整数可计算出集合M中的元素,然后根据非空真子集个数的计算公式(是元素个数)计算出结果.
【详解】因为为正整数,所以{?,0, ,1,,2,,3,},
所以集合M中共有9个元素,所以M的非空真子集个数为29-2=510,
故选:C.
【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数,难度较易.一个集合中含有个元素则:
集合的子集个数为:;
真子集、非空子集个数为:;
非空真子集个数为:.
2. 不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是( )
A、{x | x≤-1或x≥} B、{x |-1≤x≤}
C、{x | x≤-或x≥1} D、{x |-≤x≤1}
参考答案:
D
3. 已知函数y=f(x)在R上是偶函数,对任意的都有f(x+6)=f(x)+f(3), 当且时,,给出下列命题:
①f(3)=0;②直线x = - 6是y=f(x)图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点。
其中所有正确命题的序号为 ( )
A. ①② B. ②④ C. ①②③ D. ①②④
参考答案:
D
4. 已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B)∪C等于( )
A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8}
参考答案:
C
5. 设全集则下图中阴影部分表示的集合为
( )
A. B.
C.{x|x>0} D.
参考答案:
C
6. (本小题满分10分)
已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数.
(1)试写出满足上述条件的一个函数;
(2)若,求的取值范围.
参考答案:
(1)略
(2)是偶函数,
在区间上是单调增函数
或
或
略
7. 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
B
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,求得φ的一个可能取值.
【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,
可得到的函数y=sin[2(x+)+φ)]=sin(2x++φ)的图象,
再根据所得图象关于y轴对称,可得+φ=kπ+,即φ=kπ+,k∈z,
则φ的一个可能取值为,
故选:B.
【点评】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性,属于基础题.
8. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
9. 已知集合,,则=( )
A. ? B.
C. D. 或
参考答案:
B
10. 设函数,对于给定的正数K,定义函数fg(x)=,若对于函数定义域内的任意x,恒有fg(x)=f(x),则( )
A.K的最小值为1 B.K的最大值为1
C.K的最小值为 D.K的最大值为
参考答案:
B
【考点】函数恒成立问题.
【分析】若对于函数定义域内的任意x,恒有fg(x)=f(x),则f(x)≥K恒成立,求出f(x)的最小值,即为K的最大值.
【解答】解:若对于函数定义域内的任意x,恒有fg(x)=f(x),
则f(x)≥K恒成立,
∵≥20=1,
故K≤1,
即K的最大值为1,
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 是等比数列的前n项和,=,,设,则使取最小值的值为 .
参考答案:
5
略
12. 已知,点在线段的延长线上,且,则点的坐标是
.
参考答案:
(8,-15)
13. 已知集合,,若,则实数=
参考答案:
略
14. 已知奇函数在上为增函数,在上的最大值为8,最小值为-1.则____________;
参考答案:
15. 甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为的概率为,这里要求,则 .
参考答案:
16. 若,且tanx=3tany,则x﹣y的最大值为 .
参考答案:
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】计算题.
【分析】先用两角差的正切公式,求一下tan(x﹣y)的值,然后再由已知代换,利用均值不等式求得tan(x﹣y)的最大值,从而得到结果.
【解答】解:因为,x﹣y∈(0,),且tanx=3tany,
所以tan(x﹣y)=
=
=
≤
=
=tan,当且仅当3tan2y=1时取等号,
∴x﹣y的最大值为:.
故答案为:.
【点评】本题是中档题,考查两角和与差的正切函数的应用,基本不等式的应用,注意角的范围,考查计算能力.
17. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c﹣acosB=(2a﹣b)cosA,则△ABC的形状是 .
参考答案:
等腰或直角三角形
【考点】正弦定理.
【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式,可得cosA(sinB﹣sinA)=0,从而可得A=或B=A或B=π﹣A(舍去),即可判断三角形的形状.
【解答】解:在△ABC中,∵c﹣acosB=(2a﹣b)cosA,C=π﹣(A+B),
∴由正弦定理得:sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA,
∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA,
∴cosA(sinB﹣sinA)=0,
∵cosA=0,或sinB=sinA,
∴A=或B=A或B=π﹣A(舍去),
可得△ABC的形状是等腰或直角三角形.
故答案为:等腰或直角三角形.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当,求f(x)的值域.
参考答案:
由题意,因此,
又因为最低点纵坐标为-2,因此A=2
将点M 的坐标代入上式,得:
(2)
当时,,当时,
因此,函数的值域为
19. 画出程序框图,用二分法求方程在(20,21)之间的近似根(精确度为0.005)
参考答案:
解:程序框图如下:
20. (12分) 己知圆C:(x-xo)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切,圆心C在直线l:x-3y=0上,且圆C截直线m:x-y=0所得的弦长为2,求圆C方程.
参考答案:
圆C:(x-xo)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切,则|x0|=R………(1)
圆心C在直线l:x-3y=0上,则x0=3y0 ……………………(2)
圆C截直线m:x-y=0所得的弦长为2,则
把(1)(2)代入上式消去x0,y0得:R=3,则x0=3,y0=1 或x0=-3,y0=-1
故所求圆C的方程为:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
21. (16分)(1)求过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程;
(2)已知直线l平行于直线4x+3y﹣7=0,直线l与两坐标轴围成的三角形的周长是15,求直线l的方程.
参考答案:
考点: 直线的截距式方程.
专题: 直线与圆.
分析: (1)根据直线的截距关系即可求出直线方程;
(2)利用直线平行的关系,结合三角形的周长即可得到结论.
解答: (1)当直线过原点时,过点(2,3)的直线为
当直线不过原点时,设直线方程为(a≠0),直线过点(2,3),
代入解得a=5
∴直线方程为
∴过P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为3x﹣2y=0和x+y﹣5=0.
(2)∵直线l与直线4x+3y﹣7=0平行,∴.
设直线l的方程为,
则直线l与x轴的交点为A,与y轴的交点为B(0,b),
∴.
∵直线l与两坐标轴围成的三角形周长是15,
∴.
∴|b|=5,∴b=±5.
∴直线l的方程是,
即4x+3y±15=0.
点评: 本题主要考查直线方程的求解和应用,要求熟练掌握常见求直线方程的几种方法.
22. (12分)已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数;
(1)求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当f(x)的定义域为(1,a﹣2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求a的值.
参考答案:
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)直接利用奇函数的定义,化简即可求m的值;
(2)求出函数的定义域,通过对数的底数的取值范围讨论f(x)的单调性;
(3)当f(x)的定义域为(1,a﹣2)时,利用(2)的结果函数的单调性,结合f(x)的值域为(1,+∞),即可求a的值.
解答: (本小题满分14分)
解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),即
得m=﹣1;
(2)由(1)得,定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
令,则=为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的减函数,
当a>1,由复合函数的单调性可得f(x)为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的减函数;
当0<a<1时,由复合函数的单调性可得f(x)为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的增函数;
(3)∵a﹣2>1∴a>3由(2)知:函数在(1,a﹣2)上是单调减函数,
又∵f(x)∈(1,+∞),∴f(a﹣2)=1,
即.
解得.
点评: 本题考查函数的奇偶性的应用,函数的单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.