广西壮族自治区南宁市路西中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在四边形ABCD中,M为BD上靠近D的三等分点,且满足=x+y,则实数x,y的值分别为( )
A., B., C., D.,
参考答案:
A
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用.
【分析】可画出图形,根据向量加法、减法,及数乘的几何意义便有,这样根据平面向量基本定理便可得出x,y的值,从而找出正确选项.
【解答】解:如图,
=;
又;
∴.
故选:A.
【点评】考查向量加法、减法,以及数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,平面向量基本定理.
2. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( )
A. 4 B. 5 C.6 D.7
参考答案:
C
3. 已知实数x、y满足条件,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则a的值为( )
A.﹣17 B.﹣2 C.2 D.17
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;不等式.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数z=3x+y的最小值为5,建立条件关系即可求出a的值即可.
【解答】解:目标函数z=3x+y的最小值为5,
∴y=﹣3x+z,要使目标函数z=3x+y的最小值为5,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则目标函数经过点B截距最小,
由,解得,
即B(2,﹣1),同时B也在直线ax+y+5=0,
即2a﹣1+5=0,
解得a=﹣2,
故选:B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数z=3x+y的最小值为5,确定平面区域的位置,利用数形结合是解决本题的关键.
4. 已知集合M={x|x2﹣6x+5<0,x∈Z},N={1,2,3,4,5},则M∩N=( )
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} D.{1,2,4,5}
参考答案:
C
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】先分别求出集合M和N,由此利用交集定义能求出M∩N.
【解答】解:∵集合M={x|x2﹣6x+5<0,x∈Z}={2,3,4},
N={1,2,3,4,5},
∴M∩N={2,3,4}.
故选:C.
5. 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
参考答案:
B
略
6. 已知平面上的向量、满足,设向量, 则的最小值是( )
A.1 B.2 C. D.3
参考答案:
【知识点】向量的数量积F3
B
解析:因为,所以或P与A,B重合,则,所以选B.
【思路点拨】利用向量的平方等于模的平方,对所求的模进行转化,再利用已知向量的关系求最值即可.
7. 如图所示,已知双曲线的右焦点为,过的直线交双曲线的渐近线于、两点,且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍,若,则该双曲线的离心率为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
【答案解析】B解析:解:双曲线的渐近线方程为,因为直线L的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍,,直线L的方程为,与联立,可得,
【思路点拨】根据已知条件列出关系式直接求解,离心圆锥曲线的几何性质是关键.
8. 设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )
A.a<c<b B.b<c<a
C.a<b<c D.b<a<c
参考答案:
D
9. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后,一种产品的产量x (单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨)的几组对应数据:
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据,求得y关于x的线性回归方程为,那么表格中t的值为( )
A.3 B.3.15 C.3.25 D.3.5
参考答案:
A
试题分析:,,线性回归方程过样本点的中心,
,得,故答案为A.
10. 设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是 ( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. =______
参考答案:
2
12. 已知函数的部分图像如图所示,则的值为
参考答案:
略
13. 在锐角中,已知,则角的取值范围是 ,又若分别为角的对边,则的取值范围是 .
参考答案:
,
14. 如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为________.
参考答案:
15.
出红色或霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图),每个灯泡均可亮黄色.现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡,且相邻两个不同时亮,则一共可呈现 种不同的变换形式(用数字作答).
参考答案:
答案:80
16. 若,则ab的值是 .
参考答案:
-7
17. 等比数列的前项和为,且成等差数列。若,则_______________。
参考答案:
15
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程;(2)若直线与曲线相交于、两点,求.
参考答案:
解:(Ⅰ)消去参数得直线的直角坐标方程:---------2分
由代入得 .
( 也可以是:或)---------------------5分
(Ⅱ) 得----7分
设,,则.---10分
19. (本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,且a>0),且a3是6a1与a2的等差中项.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=anlog2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)an的通项公式为 an=2n. (2)Tn=(n-1)·2n+1+2.
20. 若数列满足,数列为E数列,记.
(1)写出一个满足,且的E数列;
(2)若,,证明:E数列是递增数列的充要条件是;
(3)对任意给定的整数,是否存在首项为0的E数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由.
参考答案:
(1)0,1,0,1,0;(2)证明见解析;(3)见解析
【分析】
(1)根据与和可考虑写出0,1交替的数列.
(2)先证明必要性,根据E数列是递增数列,可得,进而求得.再证明充分性,因为,故,再累加可得证明即可.
(3) 设,则,再累加求得,再分析的奇偶,根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可.
【详解】(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列.
(2)必要性:因为E数列是递增数列,
所以,
所以是首项为13,公差为1的等差数列.
所以,
充分性:由于,故,
,
……
,
所以,即,
又因为,,
所以,
故,即是递增数列.
综上所述,结论成立.
(3)设,则,
因为,
,
……
,
所以
,
因为,所以为偶数()
所以为偶数,
所以要使,必须使为偶数,
即4整除,亦即或,
当时, E数列的项满足,,,
此时,有且成立,
当时, E数列的项满足,,,时,亦有且成立,
当或时,不能被4整除,此时不存在数列,使得且成立.
【点睛】本题主要考查了数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.属于难题.
21. (本小题满分12分)以椭圆的离心率为,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于P,Q两点,A是椭圆C的右顶点,直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N,问:以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点?若恒过x轴上的定点,请求出该定点的坐标;若不恒过x轴上的定点,请说明理由.
参考答案:
方法一:
解:(Ⅰ)依题意,得 …………3分
解得故椭圆的标准方程为. …………5分
(Ⅱ),设,,,
则由题意,可得, ……(*)且,
,. …………6分
因为三点共线,所以,
故有,解得. …………7分
同理,可得. …………8分
假设存在满足题意的轴上的定点,则有,即.……9分
因为,,
所以,即,整理,得,……10分
又由(*),得,所以,解得或.
故以为直径的圆恒过轴上的定点,. …………12分
方法二:
解:(Ⅰ)同方法一;
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,有,,,,此时以为直径的圆经过轴上的点和; …………6分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立方程组,解得,.…7分
设,,
又直线的斜率,直线的斜率,
因为三点共线,所以,解得得, …………8分
同理,可得, …………9分
假设存在满足题意的轴上的定点,则有, …………10分
直线的斜率,直线的斜率,
所以,故有,即,
整理,得,解得或,
综合①②,可知以为直径的圆恒过轴上的定点,. ………12分
22. (14分)已知数列{}中,(n≥2,),数列,满足()
(1)求证数列{}是等差数列;
(2)若++
是否存在使得:恒成立.若有,求出如果没有,请说明理由.
参考答案:
解:(1)由题意知 ,
∴ . …………3分
∴ {}是首项为,公差为1的等差数列. …………5分
(2)依题意有++
= ( 裂项求和)…………………8分
设函数,在x>3.5时,y>0,,在(3.5,)上为减函数.
故当n=3时,=-- 取最小值.…………………………10分
而函数在x<3.5时,y<0, ,在(,3.5)上也为减函数.
故当n=2时,取最大值:=. ………………………… 12分
分别为 …………………………14分