广西壮族自治区桂林市和平乡中学2022年高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量( )
A.(8,﹣1) B.(﹣8,1) C.(﹣2,﹣3) D.(﹣15,2)
参考答案:
B
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】根据题意,由向量的三角形法则可得=﹣,将向、的坐标代入,计算可得答案.
【解答】解:根据题意, =﹣,
又由向量=(3,﹣2),=(﹣5,﹣1);
则=﹣=(﹣8,1);
故选:B.
2. 下列条件中,能判断两个平面平行的是
A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
参考答案:
D
3. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点,使沿线段DE折叠三角形时,顶点A正好落在边BC上,则AD的长度的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
参考答案:
C
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案.
【解答】解:设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,
∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC=a,
∴BD=AD=a,CD=a,
在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=,
∴cosA=cos(+θ)=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣.
故选:C.
【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令∠DAC=θ,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题.
5. 已知是锐角,那么是( )
(A)第一象限角 (B)第二象限角
(C)小于的正角 (C)第一或第二象限角
参考答案:
C
6. (4分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()
A. y=﹣x3,x∈R B. y=sinx,x∈R C. y=x,x∈R D.
参考答案:
A
考点: 函数的图象与图象变化;奇函数.
分析: 根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析.
解答:
A在其定义域内既是奇函数又是减函数;[来源:学科网]
B在其定义域内是奇函数但不是减函数;
C在其定义域内既是奇函数又是增函数;
D在其定义域内是非奇非偶函数,是减函数;
故选A.
点评: 处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质,其处理的方法是逐一分析各个函数,排除掉错误的答案.
7. 已知正方形的边长为,则( )
A. B.0 C. D.3
参考答案:
C
8. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则△ABC外接圆的半径为( )
A. B. C. 4 D. 6
参考答案:
D
【分析】
根据题意,设外接圆的半径为,由正弦定理可得,据此整理,即可得的值,由的值计算可得的值,由正弦定理计算可得答案.
【详解】解:根据题意,设外接圆的半径为,
则有,则,
中,,
则,
即,
又由,可得:,
则有,即;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公式的应用,关键是求出的值,考查计算及转化能力,属于中档题。
9. 函数的增区间为( )
A. (-1,1) B. (1,3) C. (-,1) D.(1,+∞)
参考答案:
B
10. 已知奇函数在时的图像如图所示,则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
(),,∴.
(),,∴.
∴解集为.
∴故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设偶函数f(x)=a|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则f(b﹣2)与f(a+1)的大小关系为 .
参考答案:
f(a+1)>f(b﹣2)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数单调性的定义进行判断即可.
【解答】解:∵f(x)=a|x+b|为偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),即a|﹣x+b|=a|x+b|,
则|x﹣b|=|x+b|,解得b=0,
则f(x)=a|x|,
设t=|x|,则当x≥0时,函数为增函数,
若f(x)=a|x|在(0,+∞)上单调递增,
则y=at上单调递增,即a>1,
则f(b﹣2)=f(﹣2)=f(2),
f(a+1)>f(1+1)=f(2),
即f(a+1)>f(b﹣2),
故答案为:f(a+1)>f(b﹣2).
【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性的性质求出b=0,a>1是解决本题的关键.
12. 已知两直线l1:(3+m)x+4y+3m+5=0,l2:2x+(5+m)y+2=0,当l1∥l2时,m的值为 .
参考答案:
﹣7
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】对m分类讨论,利用两条直线相互平行的充要条件即可得出.
【解答】解:当m=﹣5时,此时两条直线相不平行,因此≠﹣5,
∴﹣=﹣,
解得,m=﹣7
故答案为:﹣7.
13. 已知函数y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin2φ .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性,结合二倍角公式进行求解即可.
【解答】解:y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)=sin(πx+φ﹣α),其中sinα=,cosα=.
∵函数的图象关于直线x=1对称,
∴π+φ﹣α=+kπ,
即φ=α﹣+kπ,
则sin2φ=sin2(α﹣+kπ)=sin(2α﹣π+2kπ)=sin(2α﹣π)=﹣sin2α=﹣2sinαcosα
=﹣2××=,
故答案为:
【点评】本题主要考查三角函数值的计算,利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键.
14. 函数的定义域为___________.
参考答案:
15. 已知集合,则___________。
参考答案:
略
16. (4分)||=1,||=2,,且,则与的夹角为 .
参考答案:
120°
考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 计算题.
分析: 根据,且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos<>=再结合<>∈即可求出<>.
解答: ∵,且
∴
∴()?=0
∵||=1
∴=﹣1
∵||=2
∴cos<>==﹣
∵<>∈
∴<>=120°
故答案为120°
点评: 本题主要考查了利用数量积求向量的夹角,属常考题,较易.解题的关键是熟记向量的夹角公式cos<>=同时要注意<>∈这一隐含条件!
17. 数列满足,则的前项和为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x﹣2y﹣5=0.
(1)求直线BC的方程;
(2)求直线BC关于CM的对称直线方程.
参考答案:
【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】(1)由已知得直线AC的方程为:2x+y﹣11=0.联立,解得C坐标.设B(a,b),则M.M在直线2x﹣y﹣5=0上,可得:﹣﹣5=0,化为:2a﹣b﹣1=0.B在直线x﹣2y﹣5=0上,可得:a﹣2b﹣5=0.联立联立解得B坐标.可得直线BC的方程.
(2)点B关于直线CM对称的点B(x,y)在所求的直线上,由,解得B即可得出所求直线方程.
【解答】解:(1)由已知得直线AC的方程为:2x+y﹣11=0.
联立,解得C(4,3).
设B(a,b),则M.
M在直线2x﹣y﹣5=0上,可得:﹣﹣5=0,化为:2a﹣b﹣1=0.
B在直线x﹣2y﹣5=0上,可得:a﹣2b﹣5=0.
联立,解得a=﹣1,b=﹣3,B(﹣1,﹣3).
于是直线BC的方程为:6x﹣5y﹣9=0.
(2)点B关于直线CM对称的点B(x,y)在所求的直线上,
由,B.
∴直线BC关于CM的对称直线方程为38x﹣9y﹣125=0.
19. (本题满分10分)设函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.
求:(1)集合;(2)集合.
参考答案:
(1)
(2)
20. 已知二次函数f(x) 的对称轴方程为:x=1,设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),c=( ,1),d=(2,1)。
(1)分别求a·b和c·d的取值范围;
(2)当x∈[0,π]时,求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。
参考答案:
解:(1)a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
(2.f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在(1,)内单调递增,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在(1,)内单调递减,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
综上,当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为
略
21. △ABC的内角A、B、C的对边为a、b、c,
(1)求A;
(2)若求b、c.
参考答案:
(1); (2).
【分析】
(1)由题目中告诉的,利用正弦定理则可得到,再结合余弦定理公式求出角的值。
(2)根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值,再利用正弦定理可求得边和的值。
【详解】(1)由正弦定理,得,
由余弦定理,得,又
所以。
(2) 由(1)知:,又
所以,又,
根据正弦定理,得,
,
所以
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角。
22. (1)已知函数判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明。
(2)设函数.证明函数为R上的增函数
参考答案:
略