江西省九江市共青城第三中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有以下命题:①对任意的都有成立;②对任意的都有等式成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;④若是钝角的二锐角,则。其中正确的命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
2. (5分)下列各组中的函数f(x)与g(x)相同的是()
A. f(x)=|x|,g(x)= B. f(x)=,g(x)=x
C. f(x)=,g(x)=x﹣1 D. f(x)=x0,g(x)=
参考答案:
D
考点: 判断两个函数是否为同一函数.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 分别求出定义域,并化简,根据只有定义域和对应法则完全一样的函数,才是相同函数,对选项加以判断即可.
解答: 对于A.f(x)=|x|,g(x)=x(x>0),则f(x),g(x)对应法则不同,定义域也不一样,则A错;
对于B.f(x)=|x|,g(x)=x,它们定义域为R,对应法则不一样,则不为相同函数,故B错;
对于C.f(x)=x﹣1(x≠﹣1)g(x)=x﹣1,则它们定义域不同,则不为相同函数,故C错;
对于D.f(x)=1(x≠0),g(x)=1(x≠0),则它们定义域相同,对应法则相同,则为相同函数,故D对.
故选D.
点评: 本题考查函数的概念和相同函数的判断,注意只有定义域和对应法则完全一样的函数,才是相同函数,属于基础题和易错题.
3. 的值是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知等比数列满足,则( )
A.36 B.64 C.108 D.128
参考答案:
C
5. 已知y=loga(2﹣ax)是[0,1]上的减函数,则a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
参考答案:
B
【考点】对数函数的单调区间.
【分析】本题必须保证:①使loga(2﹣ax)有意义,即a>0且a≠1,2﹣ax>0.②使loga(2﹣ax)在[0,1]上是x的减函数.由于所给函数可分解为y=logau,u=2﹣ax,其中u=2﹣ax在a>0时为减函数,所以必须a>1;③[0,1]必须是y=loga(2﹣ax)定义域的子集.
【解答】解:∵f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是x的减函数,
∴f(0)>f(1),
即loga2>loga(2﹣a).
∴,
∴1<a<2.
故答案为:B.
6. 任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
三位正整数共有900个,使log2N为正整数,N为29,28,27共三个,概率为.选C.
7. (5分)若函数y=f(x)的定义域是,则函数的定义域是()
A. B. D. (0,1)
参考答案:
D
考点: 函数的定义域及其求法.
分析: 根据f(2x)中的2x和f(x)中的x的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分母不能是0,即:x﹣1≠0,解出x的取值范围,得到答案.
解答: 因为f(x)的定义域为,所以对g(x),0≤2x≤2且x≠1,故x∈,即为y=sin(2x﹣)的图象.
故选D.
点评: 本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握平移方向与平移单位是关键.
8. (5分)若关于x的方程ax﹣x﹣a=0有两个解,则实数a的取值范围是()
A. (1,+∞) B. (0,1) C. (0,+∞) D. ?
参考答案:
A
考点: 根的存在性及根的个数判断.
专题: 计算题;作图题;数形结合;分类讨论;函数的性质及应用.
分析: 当0<a<1时,函数f(x)=ax﹣x﹣a在R上是单调减函数,从而可判断;当a>1时,作函数y=ax与y=x+a的图象,结合图象可得.
解答: ①当0<a<1时,
函数f(x)=ax﹣x﹣a在R上是单调减函数,
故方程ax﹣x﹣a=0不可能有两个解;
②当a>1时,
作函数y=ax与y=x+a的图象如下,
直线y=x+a过点(0,a),且k=1;
而y=ax过点(0,1),且为增函数,增长速度越来越快;
故函数y=ax与y=x+a的图象一定有两个交点,
综上所述,实数a的取值范围是
(1,+∞);
故选:A.
点评: 本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用,同时考查了函数与方程的关系应用及函数性质的判断与应用,属于中档题.
9. 已知函数,若,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
10. 关于函数有如下命题,其中正确的个数有( )
① y=f(x)的表达式可改写为
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线.
A. 0个 B.1个 C. 2个 D. 3个
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是________
参考答案:
【分析】
利用二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可
【详解】
故函数的值域为
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的性质,二倍角公式,熟记性质是关键,是基础题
12. 无论m为何值,直线:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0恒过一定点P,则点P的坐标为 .
参考答案:
略
13. 若a>3,则函数f(x)=x2-ax+1在区间(0,2)上恰好有_____________个零点
参考答案:
1
略
14. 已知函数,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
【考点】函数的零点.
【专题】作图题.
【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象,图象交点的个数即为方程根的个数,由图象可得答案.
【解答】解:由题意作出函数的图象,
关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于
函数,与y=k有两个不同的公共点,
由图象可知当k∈(0,1)时,满足题意,
故答案为:(0,1)
【点评】本题考查方程根的个数,数形结合是解决问题的关键,属基础题.
15.
参考答案:
略
16. 用表示两个数中的最小值,设 ,则的最大值为_________________________.
参考答案:
6
17. 函数的定义域是 。(用集合表示)
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设直线l过点(2,3)且与直线2x+y+1=0垂直,l与x轴,y轴分别交于A、B两点,
求(1)|AB|;
(2)求过点A(4,-1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程.
参考答案:
(1)2; (2)x+4y=0或x+y-3=0
【分析】
(1)由题意知直线l的斜率为,设l的方程为x-2y+c=0,代入(2,3)可得c=4,即可求出A,B的坐标即可求出|AB|;
(2)分类讨论:直线过原点时和直线不过原点,分别求出即可。
【详解】(1)由题意知直线l的斜率为,设l的方程为x-2y+c=0,代入(2,3)可得c=4,
则x-2y+4=0,
令x=0,得y=2,令y=0,得x=-4,
∴A(-4,0),B(0,2),
则|AB|==2;
(2)当直线不过原点时,设直线l的方程为x+y=c,代入(4,-1)可得c=3,此时方程为x+y-3=0,
当直线过原点时,此时方程为x+4y=0.
【点睛】本题考查直线的方程,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答。
19. (本小题满分12分)
设集合,.
(1)若,求实数的值
(2)若,求实数的取值范围
参考答案:
(1)有题可知:∵ ∴
将2带入集合B中得: 解得:
当时,集合符合题意; 当时,集合,符合题意
综上所述:
(2), 可能为,,,
当时,由得,
当时,由韦达定理 无解
当时,由韦达定理 无解
当时,由韦达定理 无解
综上所述 ,的取值范围为
20. △ABC中,角A,B,C所对边分别是a、b、c,且.
(1)求的值;
(2)若,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)将化简代入数据得到答案.
(2)利用余弦定理和均值不等式计算,代入面积公式得到答案.
【详解】
;
(2)由,可得,
由余弦定理可得,
即有,当且仅当,取得等号.
则面积为.
即有时,的面积取得最大值.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,面积公式,均值不等式,属于常考题型.
21. 已知函数
(1)求函数的值域;
(2)若时,函数的最小值为,求的值和函数 的最大值。
参考答案:
解:设
(1) 在上是减函数
所以值域为 …… 6分
(2)①当时, 由
所以在上是减函数,
或(不合题意舍去)
当时有最大值,
即
②当时,,在上是减函数,
,或(不合题意舍去)
或(舍去)
当时y有最大值,即
综上,或。当时f(x)的最大值为;当时f(x)的最大值为。
略
22. 已知点,圆.
(1)求过点M且与圆C相切的直线方程;
(2)若直线与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为,求实数a的值.
参考答案:
(1)或;(2).
分析】
(1)考虑切线的斜率是否存在,结合直线与圆相切的的条件d=r,直接求解圆的切线方程即可.
(2)利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系,列出方程,求解a即可.
【详解】(1)由圆的方程得到圆心,半径.
当直线斜率不存在时,直线与圆显然相切;
当直线斜率存在时,设所求直线方程为,即,
由题意得:,解得,
∴ 方程为,即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
(2)∵ 弦长为,半径为2.
圆心到直线的距离,
∴,
解得.