河北省邢台市宁晋县第三中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 不等式的解集为(-,2),则不等式的解集为( )
(A)(,+∞)∪(-∞,-2) (B) (-,+∞)∪(-∞,-3)
(C) (-2,) (D) (-3,)
参考答案:
D
2. 已知椭圆,若其长轴在轴上.焦距为,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. (5分)命题“?x0∈?RQ,x03∈Q”的否定是( )
A. ?x0??RQ,x03∈Q B. ?x0∈?RQ,x03?Q
C. ?x0??RQ,x03∈Q D. ?x0∈?RQ,x03?Q
参考答案:
B
4. 程序框图如图所示,则该程序框图运行后输出的S是( )
A. B.-3 C.2 D.
参考答案:
A
5. 观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为
A.23 B.75 C.77 D.139
参考答案:
B
观察可得,上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,22,23,…,所以b=26=64,又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,所以a=11+64=75,故选B.
6. 在数列中,,公比,则的值为( )[来源:学科网]
A.7 B.8 C.9 D.16
参考答案:
B
7. 为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况,将学生编号为001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且抽取到的最小号码为005,已知这400名学生分住在三个营区,从001至155在第一营区,从156到255在第二营区,从256到400在第三营区,则第一,第二,第三营区被抽中的人数分别为( )
A.15,10,15 B.16,10,14 C.15,11,14 D.16,9,15
参考答案:
B
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的方法的要求,确定抽取间隔即可得到结论.
【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到005号,以后每隔10个号抽到一个人,
∴抽取的号码构成以5为首项,d=10为公差的等差数列.
∴an=10n﹣5.
由10n﹣5≤155解得n≤16,即第一营区抽中的人数为16人.
由156<10n﹣5≤255,即n=17,18,…26,共有26﹣17+1=10人,即第二营区抽中的人数为10人.
则第三营区的人数为40﹣16﹣10=14人.
故选B.
【点评】本题主要考查系统抽样方法.根据系统抽样的定义确定抽取间距,利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键.
8. 观察,,,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记为的导函数,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 在空间直角坐标系中,已知A(2,3,1), B(4,1,2) ,C(6,3,7), D(),DH⊥平面ABC,垂足为H,直线DH交平面xOy于点M,则点M的坐标是
A.(4,7,0) B.(7,4,0) C.(4,7,0) D.(7, 4,0)
参考答案:
B
10. 命题“存在R,0”的否定是
A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0
C.对任意的R, 0 D. 对任意的R, >0
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x,y满足,则的最大值为 .
参考答案:
5
【考点】简单线性规划.
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件,的可行域,然后分析的几何意义,结合图象,用数形结合的思想,即可求解.
【解答】解:满足约束条件的可行域:
如下图所示:
又∵的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x=1,y=5时,有最大值5.
给答案为:5.
12. 利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时,可以先运行以下算法步骤:
第一步:利用计算机产生两个在0~1区间内的均匀随机数
第二步:对随机数实施变换:得到点
第三步:判断点的坐标是否满足
第四步:累计所产生的点的个数,及满足的点A的个数
第五步:判断是否小于(一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出并终止算法.
(1)点落在上方的概率计算公式是 ;
(2)若设定的,且输出的,则用随机模拟方法可以估计出区域的面积为 (保留小数点后两位数字).
参考答案:
, 35.64
13. 方程a+b+c+d=8的正整数解(a,b,c,d)有 组.(用数字作答)
参考答案:
35
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】a+b+c+d=8的正整数解,转化为7个球中插入3个板,利用组合知识可得结论
【解答】解:a+b+c+d=8的正整数解,转化为7个球中插入3个板,故共有=35组.
故答案为35.
14. 设数列的通项公式为,则
_____________.
参考答案:
58
略
15. 函数在区间[-1,2]上的值域是 .
参考答案:
[,8]
略
16. 记等差数列的前n项的和为,利用倒序求和的方法得:;类似地,记等比数列的前n项的积为,且,试类比等差数列求和的方法,将表示成首项、末项与项数n的一个关系式,即= .
参考答案:
17. 定义函数,若存在常数,对任意的,存在唯一的,使得,则称函数在上的几何平均数为.已知,则函数在上的几何平均数为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知点A(﹣1,2)是抛物线C:y=2x2上的点,直线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2:x=a(a≠﹣1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.
(1)求直线l1的方程;
(2)设△BAD的面积为S1,求|BD|及S1的值;
(3)设由抛物线C,直线l1,l2所围成的图形的面积为S2,求证:S1:S2的值为与a无关的常数.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程.
【分析】(1)由y=2x2,得y′=4x.当x=﹣1时,y'=﹣4.由此能求出l1的方程.
(2)由,得:B点坐标为(a,2a2).由,得D点坐标(a,﹣4a﹣2).点A到直线BD的距离为|a+1|.由此能求出|BD|及S1的值.
(3)当a>﹣1时,S1=(a+1)3,S2=∫﹣1a[2x2﹣(﹣4x﹣2)]dx=∫﹣1a(2x2+4x+2)dx=.S1:S2=.当a<﹣1时,S1=﹣(a+1)3,S2=∫a﹣1[2x2﹣(﹣4x﹣2)]dx=∫a﹣1(2x2+4x+2)dx=.S1:S2=,综上可知S1:S2的值为与a无关的常数,这常数是.
【解答】解:(1)由y=2x2,得y′=4x.当x=﹣1时,y'=﹣4.(2分)
∴l1的方程为y﹣2=﹣4(x+1),即y=﹣4x﹣2.(3分)
(2)由,得:B点坐标为(a,2a2).(4分)
由,得D点坐标(a,﹣4a﹣2).
∴点A到直线BD的距离为|a+1|.(6分)
|BD|=2a2+4a+2=2(a+1)2
∴S1=|a+1|3.(7分)
(3)当a>﹣1时,S1=(a+1)3,(8分)
S2=∫﹣1a[2x2﹣(﹣4x﹣2)]dx
=∫﹣1a(2x2+4x+2)dx
=
=.(9分)
∴S1:S2=.(11分)
当a<﹣1时,S1=﹣(a+1)3
S2=∫a﹣1[2x2﹣(﹣4x﹣2)]dx
=∫a﹣1(2x2+4x+2)dx
=.(13分)
∴S1:S2=,综上可知S1:S2的值为与a无关的常数,这常数是.(14分)
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用,合理地进行等价转化.
19. (本题满分10分)已知函数,
(1)若的最小值为2,求值;
(2)设函数有零点,求的最小值。
参考答案:
【知识点】基本不等式;函数的零点;方程有根的条件;二次函数求最小值.
【答案解析】(1);(2)
解析 :解:
(1) 因为函数,所以或,则,又因为的最小值为2,即,解得:.
(2)函数有零点,等价于方程有实根,显然不是根.令,为实数,则,同时有:,
方程两边同时除以得:,
即,此方程有根,
令,有根则,
若根都在,则有,,
即,也可表示为,
故()有根的范围是:,即
故
当,时,取得最小值.
【思路点拨】(1)先由已知利用基本不等式可得,则有,解之即可;
(2)函数有零点,等价于方程有实根,令,转化为,令,有根则,进而结合
()有根的范围即可.
20. 某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率;
(2)估计本次考试的中位数;(精确到0.1)
(3)用分层抽样(按[60,70)、[70,80)分数段人数比例)的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求恰有1人在分数段[70,80)的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(1)利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1,能求出分数在[70,80)内的频率.
(2)利用频率分布直方图能求出中位数.
(3)[60,70)分数段的人数为9人,[70,80)分数段的人数为18人.需在[60,70)分数段内抽取2人,分别记为a,b;在[70,80)分数段内抽取4人,分别记为c,d,e,f.由此利用列举法能求出从中任取2人,恰有1人在分数段[70,80)的概率.
【解答】解:(1)分数在[70,80)内的频率为:
1﹣(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1﹣0.7=0.3…
(2)∵数学成绩在[40,70)内的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4,
数学成绩在[70,80)内的频率为0.3,
∴中位数为70+=.…
(3)由题意,[60,70)分数段的人数为:0.15×60=9(人),
[70,80)分数段的人数为:0.3×60=18(人).
∴需在[60,70)分数段内抽取2人,分别记为a,b;
在[70,80)分数段内抽取4人,分别记为c,d,e,f.
设“从样本中任取2人,恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A,
所有基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),
(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),
(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个…
其中事件A包含(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共8个.…
∴P(A)=.…
21. (本小题满分8分)
如图,是正方形,是正方形的中心,底面,
是的中点