湖北省武汉市建新中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数定义域是,则的定义域是()
A. B. C. D. 以上都不对
参考答案:
B
【分析】
利用可求得的范围,即为所求的定义域.
【详解】定义域为
的定义域为
本题正确选项:
【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解问题,关键是能够采用整体代换的方式来进行求解.
2. 若α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cosα的值为( )
A. B. C.或 D.以上都不对
参考答案:
A
【考点】GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】根据同角三角函数基本关系分别求得sin(α+β)和sin(2α+β)的值,进而根据余弦的两角和公式求得答案.
【解答】解:∵α,β为锐角,cos(α+β)=>0,
∴0<α+β<,
∴0<2α+β<π,
∴sin(α+β)==,sin(2α+β)==,
∴cosα=cos(2α+β﹣α﹣β)=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=×+×=.
故选:A.
3. 对一切实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,-2) B. [-2,+∞) C. [-2,2] D. [0,+∞)
参考答案:
B
4. 为了得到函数y=4cos2x的图象,只需将函数y=4cos(2x+)的图象上每一个点( )
A.横坐标向左平动个单位长度
B.横坐标向右平移个单位长度
C.横坐标向左平移个单位长度
D.横坐标向右平移个单位长度
参考答案:
D
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:将函数的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度,
可得y=4cos[2(x﹣)+]=4cos2x的图象,
故选:D.
5. 的定义域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 下列各命题正确的是( )
A.终边相同的角一定相等. B.第一象限角都是锐角.
C.锐角都是第一象限角. D.小于90度的角都是锐角.
参考答案:
C
7. 不等式x2﹣x﹣6<0的解集为( )
A.{x|x<﹣2或x>3} B.{x|x<﹣2} C.{x|﹣2<x<3} D.{x|x>3}
参考答案:
C
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】把不等式化为(x+2)(x﹣3)<0,求解即可.
【解答】解:不等式x2﹣x﹣6<0化为
(x+2)(x﹣3)<0,
解得﹣2<x<3;
∴不等式x2﹣x﹣6<0的解集为
{x|﹣2<x<3}.
故选:C.
8. 已知直线l1:x+2ay﹣1=0,与l2:(2a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,则a的值是( )
A.0或1 B.1或 C.0或 D.
参考答案:
C
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先检验当a=0时,是否满足两直线平行,当a≠0时,两直线的斜率都存在,由≠,解得a的值.
【解答】解:当a=0时,两直线的斜率都不存在,
它们的方程分别是x=1,x=﹣1,显然两直线是平行的.
当a≠0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等,
由≠,解得:a=.
综上,a=0或,
故选:C.
9. 向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )
A B C D
参考答案:
B
10. 已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为4,若其中的一圆的半径为4,则另一圆的半径为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】球内接多面体.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】可以从三个圆心上找关系,构建矩形利用对角线相等即可求解出答案.
【解答】解:设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,则OO1EO2为矩形,
于是对角线O1O2=OE==,
∵圆O1的半径为4,∴O1E===2
∴O2E═=3
∴圆O2的半径为
故选D.
【点评】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质,是对基础知识的考查.解决本题的关键在于得到OO1EO2为矩形.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程lgx=4﹣x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k= .
参考答案:
3
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用.
【分析】设函数f(x)=lgx+x﹣4,判断解的区间,即可得到结论.
【解答】解:设函数f(x)=lgx+x﹣4,则函数f(x)单调递增,
∵f(4)=lg4+4﹣4=lg4>0,f(3)=lg3+3﹣4=lg3﹣1<0,
∴f(3)f(4)<0,
在区间(3,4)内函数f(x)存在零点,
∵方程lgx=4﹣x的解在区间(k,k+1)(k∈Z),
∴k=3,
故答案为:3.
【点评】本题主要考查方程根的存在性,根据方程构造函数,利用函数零点的条件判断,零点所在的区间是解决本题的关键.
12. 在边长为1的菱形ABCD中(如右图),|EA|=3|ED|,|AF|=|FB|,|BC|=3|BG|,=m,则= ;
参考答案:
13. 定义在实数集上的偶函数在上是单调增函数,则不等式的解集是_____________.
参考答案:
14. 若点为圆的弦MN的中点,则弦MN所在的直线的方程为___________.
参考答案:
;
【分析】
利用垂径定理,即圆心与弦中点连线垂直于弦.
【详解】圆标准方程,圆心为,,
∵是中点,∴,即,
∴的方程为,即.
故答案为.
【点睛】本题考查垂径定理.圆中弦问题,常常要用垂径定理,如弦长(其中为圆心到弦所在直线的距离).
15. 关于的方程恰有个不同的实根,则的取值范围是________.
参考答案:
16. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,记的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=_____.
参考答案:
【分析】
由图可知,由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】根据图形,
因为都是直角三角形,
,
是以1为首项,以1为公差的等差数列,
,
,故答案为.
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,等差数列的定义与通项公式,以及数形结合思想的应用,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于与中档题.
17. 在等差数列{an}中,,则( )
A. 3 B. 9 C. 2 D. 4
参考答案:
A
【分析】
根据等差数列的性质得到
【详解】等差数列中,,根据等差数列的运算性质得到
故答案为:A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=是定义域在(﹣1,1)上的奇函数,且f()=.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若f(2t﹣2)+f(t)<0,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数的值.
【分析】(Ⅰ)利用函数为奇函数,可得b=0,利用f()=,可得a=1,从而可得函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用导数的正负,可得函数的单调性;
(Ⅲ)利用函数单调增,函数为奇函数,可得具体不等式,从而可解不等式.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知f(﹣x)=﹣f(x)
∴=﹣
∴﹣ax+b=﹣ax﹣b,∴b=0
∵f()=,∴a=1
∴;
(Ⅱ)当x∈(﹣1,1)时,函数f(x)单调增,证明如下:
∵f(x)=,x∈(﹣1,1)
∴f′(x)>0,∴当x∈(﹣1,1)时,函数f(x)单调增;
(Ⅲ)∵f(2t﹣2)+f(t)<0,且f(x)为奇函数
∴f(2t﹣2)<f(﹣t)
∵当x∈(﹣1,1)时,函数f(x)单调增,
∴
∴<t<,
∴不等式的解集为(,)
19. (10分)已知函数f(x)=(a2﹣a+1)xa+2为幂函数,且为奇函数,设函数g(x)=f(x)+x.
(1)求实数a的值及函数g(x)的零点;
(2)是否存在自然数n,使g(n)=900?若存在,请求出n的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
考点: 幂函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)根据幂函数的定义,和奇函数的定义先求出a的值,再根据零点求法,零点转化为g(x)=0的实数根,解方程即可
(2)根据函数为增函数,然后验证f(9)=738,f(10)=1010,即可得出.
解答: (1)令a2﹣a+1=1,解得 a=0或a=1.…(1分)
当a=0时,f(x)=x2,它不是奇函数,不符合题意;
当a=1时,f(x)=x3,它是奇函数,符合题意.
所以a=1. …(3分)
此时g(x)=x3+x.
令g(x)=0,即 x3+x=0,解得 x=0.
所以函数g(x)的零点是x=0.…(5分)
(2)设函数y=x3,y=x.因为它们都是增函数,所以g(x)是增函数.…(7分)
又因为 g(9)=738,g(10)=1010. …(9分)
由函数的单调性,可知不存在自然数n,使g(n)=900成立. …(10分)
点评: 本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系,以及函数的单调性与函数值问题.
20. (14分)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,函数f(x)=x2﹣2x.
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)试求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域.ks5u
参考答案:
(1)令x<0,则﹣x>0,
∵x>0时,f(x)=x2﹣2x,
∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,
又f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣x2﹣2x.
当x=0时,f(x)=x2﹣2x=0,
∴f(x)=..7分
(2)x∈[0,3]时,f(x)=x2﹣2x,
∵对称轴方程为x=1,抛物线开口向上,
∴f(x)=x2﹣2x在[0,3]上的最小值和最大值分别为:
f(x)min=f(1)=1﹣2=﹣1,f(x)max=f(3)=9﹣6=3.∴函数f(x)在x∈[0,3]上的值域为[﹣1,3].14分
21. 求log927的值.
参考答案:
设log927=x,根据对数的定义有9x=27,即32x=33,∴2x=3,x=,即log927=.
22. 在平面四边形ABCD中,,,,.
(1)求AC的长;
(2)若,求的面积.
参考答案: