湖北省武汉市第一初级中学2022-2023学年高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. ①学校为了解高一学生的情况,从每班抽2人进行座谈;②一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况;③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.就这三件事,合适的抽样方法为 ( )
A. 分层抽样,分层抽样,简单随机抽样 B. 系统抽样,系统抽样,简单随机抽样
C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样
参考答案:
D
略
2. 若函数是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】简单空间图形的三视图.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图,根据侧视图的结构计算面积即可.
【解答】解:取BD的中点E,连结CE,AE,
∵平面ABD⊥平面CBD,
∴CE⊥AE,
∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图,
∵BD=,∴CE=AE=,
∴△CEA的面积S=,
故选:B.
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用,根据三棱锥的结构得到三棱锥的侧视图是解决本题的关键.
4. 点的直角坐标是,在的条件下,它的极坐标是( )
A B C D
参考答案:
A
5. 如图,由若干圆点组成如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有个点,每个图形总的点数记为,则则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 在同一坐标系中,方程的曲线大致是 ( )
参考答案:
A
7. 给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称在D上为凸函数,以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
8. 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框内应填入的条件是( )
A.<4 B.>4 C.<5 D.>5
参考答案:
B
9. 设椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点(,0)分成3:1的两段,则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知椭圆的上、下顶点分别为、,左、右焦点分别为、,若四边形是正方形,则此椭圆的离心率等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= .
参考答案:
120
【考点】二项式定理的应用.
【分析】由题意依次求出x3y0,x2y1,x1y2,x0y3项的系数,求和即可.
【解答】解:(1+x)6(1+y)4的展开式展开式中,含x3y0的系数是: =20,故f(3,0)=20;
含x2y1的系数是=60,故f(2,1)=60;
含x1y2的系数是=36,故f(1,2)=36;
含x0y3的系数是=4,故f(0,3)=4;
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.
故答案为:120.
12. (5分)点P(1,1,﹣2)关于xoy平面的对称点的坐标是 .
参考答案:
(1,1,2)
【考点】: 空间中的点的坐标.
【专题】: 计算题.
【分析】: 直接利用空间直角坐标系,求出点P(1,1,2)关于xoy平面的对称点的坐标即可.
解:点P(1,1,﹣2)关于xoy平面的对称点,纵横坐标不变,竖坐标变为相反数,即所求的坐标(1,1,2),
故答案为:(1,1,2).
【点评】: 本题是基础题,考查空间直角坐标系对称点的坐标的求法,考查计算能力.
13. 已知函数,,若与的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是__________.
参考答案:
14. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东,行驶后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东,这时船与灯塔距离为__________km.
参考答案:
30
15. 已知函数的对称中心为,记函数的导数为,函数的导数为,则有;反之也成立.若函数 ,则 .
参考答案:
-8050
略
16. 已知关于x的不等式>0在[1,2]上恒成立,则实数m的取值范围为___________
参考答案:
【分析】
对m进行分类讨论,、时分别分析函数的单调性,对m的取值范围进行进一步分类讨论,求出该函数在区间上的最小值,令最小值大于0,即可求得m范围.
【详解】①当时,函数外层单调递减,
内层二次函数:
当,即时,二次函数在区间内单调递增,函数单调递减,
,解得:;
当,即时,无意义;
当,,即时,二次函数在区间内先递减后递增,函数先递增后递减,
则需,无解;
当,即时,二次函数在区间内单调递减,函数单调递增,
,无解.
②当时,函数外层单调递增,
,二次函数单调递增,函数单调递增,
所以,解得:.
综上所述:或.
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,若大于0恒成立,则最小值大于0,若小于0恒成立则最大值小于0,注意对参数进行分类讨论,区分存在性问题与恒成立问题.
17. 直线与直线交于一点,且的斜率为,的斜率为,直线、与轴围成一个等腰三角形,则正实数的所有可能的取值为____________.
参考答案:
16.或.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,两个顶点分别为,.过点的直线交椭圆于M,N两点,直线与的交点为G.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:点G在一条定直线上.
参考答案:
解(1)由椭圆两个顶点分别为,题设可知. -----------------2分
因为,即,所以.
又因为,所以. ---------------------4分
所以,所求的椭圆的标准方程为. -------------------- 6分
(2)解法一:由题意知,直线与直线的斜率存在,故设直线的方程为,直线的方程为. --------------------------8分
联立方程组,消去y得,
解得点.同理,解得点. ----------------------12分
由M,D,N三点共线,有,化简得.
由题设可知与同号,所以. --------------------------14分
联立方程组,解得交点.将代入点G的横坐标,
得.所以,点G恒在定直线上. -------- 16分
解法二: 显然,直线MN的斜率为时不合题意.设直线MN的方程为.
令,解得或.
当时,直线的方程为,直线的方程为
.联立方程组,解得交点;
当时,由对称性可知交点.
若点G恒在一条定直线上,则此定直线必为. ---------------------------------------10分
下面证明对于任意的实数,直线与直线的交点均在直线上.
设.由点,,三点共线,有,即.
再由点,,三点共线,有,即.所以,.①
将,代入①式,化简得. ② ----------------14分
联立方程组,消去得,
从而有.将其代入②式,有成立.
故当m为任意实数时,直线与直线的交点G均在直线上.--------------------- 16分
19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,是等边三角形,,,.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若平面平面ABCD,,求三棱锥的体积
参考答案:
证明:(Ⅰ)取的中点,连接
为等边三角形
,,
四边形为矩形
,平面
又平面,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
又平面平面,平面平面,
平面
平面,为三棱柱的高
为等边三角形,,得,
,
20. 已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值,并说明取最大值时对应的x的值.
参考答案:
(1)f(x)的最小正周期为(2)时,f(x)取得最大值
【分析】
降次化为的形式再通过 求出最小正周期。
根据的性质求出最大值即可。
【详解】(1),
所以的最小正周期为.
(2)由(1)知.
当时,即时,取得最大值.
【点睛】本题考查三角函数的基本性质,属于基础题。
21. 如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,E,F分别为PB,PC的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面AEF⊥平面PAB.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)根据三角形中位线定理可得EF∥BC,进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC;
(2)根据PA⊥平面ABC,可得PA⊥BC,结合∠ABC=90°,及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB,进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB,最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB.
【解答】证明:(1)∵E,F分别为PB,PC的中点.
∴EF∥BC,
又∵BC?平面ABC,EF?平面ABC,
∴EF∥平面ABC;
(2)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC,
又∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
又∵PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,
由(1)中EF∥BC,
∴EF⊥平面PAB,
又∵EF?平面AEF,
∴平面AEF⊥平面PAB.
22. 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,
(1)若圆M满足条件①②,圆心在第一象限,且到x轴,y轴距离相等,求圆M的标准方程;
(2)设圆N与直线相切,与满足(1)的圆M外切,且圆心在直线x=1上,求圆N的标准方程;
(3)在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
参考答案:
(1);(2);(3)或.
【分析】
(1)由条件设圆M方程(),条件②说明M点及圆M与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,再由条件①,列出a,r的方程组可得.
(2)设圆N:,由圆N与直线相切,与满足(1)的圆M外切,列方程组求解.
(3)设圆C:,由条件①②得到a,b关系,再利用基本不等式求C到的距离