湖南省怀化市通道侗族自治县兴隆中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的半径为( )
A.2 B. C.3 D.
参考答案:
B
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个棱长为2的正方体,切去四个角所得的正四面体,其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球,进而得到答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:
该几何体是一个棱长为2的正方体,切去四个角所得的正四面体,
其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球,
故2R==2,
故R=,
故选:B
2. 一直两个非零向量 ,其中 为 的夹角,若 则 的值为
A.-8 B.-6 C.8 D.6
参考答案:
D
略
3. 已知向量,,则是的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
参考答案:
B
因为向量中有可能为零向量,所以时,推不出。若,所以,所以是的必要不充分条件.
4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某集合体的三视图,则该集合体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
根据题中所给的几何体的三视图,
可以断定该几何体为一个四棱锥里边挖去了八分之一的球体,
并且该四棱锥就是由一个正方体切割而成的,
根据体积公式求得四棱锥的体积为,
而挖去的八分之一球体的体积为,
所以该几何体的体积为,故选A.
5. 若x,y∈[﹣,],且xsinx﹣ysiny>0,那么下面关系正确的是( )
A.x>y B.x+y>0 C.x<y D.x2>y2
参考答案:
D
【考点】函数的单调性与导数的关系;不等式的基本性质.
【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用;导数的综合应用.
【分析】构造函数f(x)=xsinx,判断f(x)在[﹣,]上的增减性和对称性,画出函数草图,结合图象即可得出答案.
【解答】解:令f(x)=xsinx,x∈[﹣,],
则f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x),
∴f(x)是偶函数.
∵f′(x)=sinx+xcosx,
∴当x∈(0,]时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,]上是增函数,
∵f(x)是偶函数.
∴f(x)在[﹣,0)上是减函数,
且f(0)=0,做出函数f(x)图象如图所示
∵xsinx﹣ysiny>0,
即xsinx>ysiny,
∴f(x)>f(y),
由图象可知|x|>|y|,
即x2>y2.
故选D.
【点评】本题考查了利用函数单调性和奇偶性比较大小,属于基础题.
6. 已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点,且射线绕原点逆时针旋转°到交单位圆于点,则的最大值为( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5
【答案解析】B 由题意可得:xA=cosθ,yB=sin(θ+30°).
∴xA-yB=cosθ-sin(θ+30°)=cosθ-(sinθ+cosθ)= cosθ-sinθ=cos(θ+)≤1.
∴xA-yB的最大值为1.故选B.
【思路点拨】由题意可得:xA=cosθ,yB=sin(θ+30°).可得xA-yB=cosθ-sin(θ+30°),利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出.
7. 设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则( )
A.的图象过点
B.的一个对称中心是
C.在上是减函数
D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象
参考答案:
B
8. 设函数,若存在区间,使在上的值域是,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 设集合A={},集合B为函数的定义域,则AB=( )
A.(1,2) B.[1,2] C. [ 1,2) D.(1,2 ]
参考答案:
D
10. 要从10名男生与5名女生中选出6名学生组成课外活动小组,如果按性别分层抽样,则组成不同的课外活动小组的个数 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若变量满足约束条件则的最大值是________.
参考答案:
3
解答:
由图可知在直线和的交点处取得最大值,故.
12. (不等式选做题)不等式的解集为,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(不等式选做题)
略
13. 设函数是定义在R上以3为周期的奇函数,若,,则a的取值范围是__________________________.
参考答案:
14. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为 .
参考答案:
7
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=3时,不满足条件i≤2,退出循环,输出S的值为7.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
S=1,i=1
满足条件i≤2,执行循环体,S=3,i=2
满足条件i≤2,执行循环体,S=3+4=7,i=3
不满足条件i≤2,退出循环,输出S的值为7.
故答案为:7.
15. 双曲线(a>0,b>0)的一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行,则此双曲线的离心率为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的标准方程分析可得其渐近线方程为y=±x,结合题意分析可得=1,又由双曲线的几何性质可得c==c,由双曲线的离心率计算公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为:,
其焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x,
又由其一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行,则有=1,
c==a,
则该双曲线的离心率e==;
故答案为:.
16. 设数列中,,则通项 _ .
参考答案:
略
17. 的值是 .
参考答案:
2
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】根据同角三角函数关系式和辅助角公式化简后,可得答案.
【解答】解:由===,
故答案为:2.
【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和和辅助角公式的应用,属于基本知识的考查.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)设(其中是的导函数),求的最大值;
(Ⅱ)求证: 当时,有;
(Ⅲ)设,当时,不等式恒成立,求的最大值.
参考答案:
解:(1),……………1分
所以 . ……………2分
当时,;当时,.
因此,在上单调递增,在上单调递减.……………3分
因此,当时,取得最大值; ………………4分
(Ⅱ)当时,.由(1)知:当时,,即.
因此,有.………………7分
(Ⅲ)不等式化为 ……………8分
所以对任意恒成立.令,
则,令,则,
所以函数在上单调递增.因为,
所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以.
所以.故整数的最大值是. ………14分
略
19. 已知函数为实常数).
(1)当时,求函数在上的最小值;
(2)若方程(其中)在区间上有解,
求实数的取值范围;
(3)证明:(参考数据:
)
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,,,令,又,在上单调递减,在上单调递增.当时,
.的最小值为.
(2) 在上有解在上有解在上有解.令,,
令,又,解得:.在上单调递增,
上单调递减,又..即.故. (3)设,
由(Ⅰ),,..
.
构造函数,当时,.在上单调递减,即.当时,
..即...
20. 已知椭圆C:的离心率为,且过点Q(1,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P点在直线x+y﹣1=0上,且满足 (O为坐标原点),求实数t的最小值.
参考答案:
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
专题:综合题.
分析:(1)设椭圆的焦距为2c,由e=,设椭圆方程为,由在椭圆上,能求出椭圆方程.
(2)设AB:y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由,得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,由△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)≥0,知k∈,由此入手能够求出实数t的最小值.
解答: 解:(1)设椭圆的焦距为2c,
∵e=,∴a2=2c2,b2=c2,
设椭圆方程为,
∵在椭圆上,
∴,解得c2=1,
∴椭圆方程为.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,
设AB:y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由,得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,
△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)≥0,
,
即k∈,
,
∵,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
当k=0时,t=0;
当t≠0时,
,
=,
∵点P在直线x+y﹣1=0上,
∴,
∴t=.
∵k∈,
∴令h==≤.
当且仅当k=时取等号.
故实数t的最小值为4﹣4h=.
点评:本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用,考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是2015届高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
21. 已知函数其中为参数,且
(I)当时,判断函数是否有极值;
(II)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(III)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围
参考答案:
由已知
22. 某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋),到如下统计表:
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数x(万人)
13
9
8
10
12
原材料y(袋)
32
23
18
24
28
(1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)关系为,投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入-原材料费用)
参考公式:,.
参考数据:,,.
参考答案:
(1) .
(2)餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11520元.
试题分析:(1)根据公式求出b,再将样本中心代入求出a,进而得到回归方程;