四川省成都市韩场镇中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于定义在R上的函数,若,则函数在区间内( )
A.只有一个零点 B.至少有一个零点 C.无零点 D.无法判断
参考答案:
D
2. 若函数在上单调递减,则可以是( ).
A. B. C.1 D.
参考答案:
A
3. 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
4. 已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与向量b的夹角是( ).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案:
A
5. 直线的方向向量为且过抛物线的焦点,则直线与抛物线围成的封闭图形面积为
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 不等式组,表示的平面区域内的点都在圆x2+(y﹣)2=r2(r>0)内,则r的最小值是( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
圆x2+(y﹣)2=r2(r>0)对应的圆心坐标为(0,),
由图象知只需要点B(1,0)或A(﹣1,0)在圆内即可,
即r≥==,
在r的最小值为,
故选:A.
7.
若 (a-2i ) i = b-i ,其中a、b∈R,i 是虚数单位,则 a 2 + b 2等于( )
(A) 0 (B) 2 (C) (D) 5
参考答案:
答案:D
8. 已知双曲线,过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()
A. B.(1,2) C. D.(2,+∞)
参考答案:
B
由题意得 ,选B.
9. 已知函数(,,)的部分图象如图所示,则要想得到的图象,只需将的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
参考答案:
D
由图象知,,解得,从而,,又该图象过(,2),所以,,
因为,所以。因此。
采用倒推法,由,
所以由。故选择D。
10. 当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则的值为 。
参考答案:
略
12. 定义在上的函数满足:对任意,恒成立.有下列结论:①;②函数为上的奇函数;③函数是定义域内的增函数;④若,且,则数列为等比数列.
其中你认为正确的所有结论的序号是 .
参考答案:
①②④
13. 已知点O为坐标原点,点M(2,1),点N(x,y)满足不等式组,则?的最大值为 .
参考答案:
11
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】数形结合;向量法;平面向量及应用;不等式.
【分析】可画出原不等式组所表示的平面区域,而可求出,可设2x+y=z,从而得到y=﹣2x+z,这样找出平面区域上的一点,使得直线y=﹣2x+z过该点时截距取到最大值,此时z便取到最大值.
【解答】解:不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示;
;
解得,,即A(4,3);
设2x+y=z,∴y=﹣2x+z;
∴z为直线y=﹣2x+z在y轴上的截距,由图看出当该直线过点A时,截距最大,即z最大;
∴3=﹣8+z;
z=11;
∴z的最大值为11,即的最大值为11.
故答案为:11.
【点评】考查根据不等式可以找到该不等式所表示的平面区域,向量数量积的坐标运算,线性规划的方法求最值,直线的斜截式方程.
14. 已知△ABC中,点A、B、C的坐标依次是A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则的坐标是__________
参考答案:
15. 若函数是偶函数,则 .
参考答案:
16. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升.
参考答案:
17. 在直角三角形中,,,点是斜边上的一个三等分点,则 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆,点M是C长轴上的一个动点,过点M的直线l与C交于P,Q两点,与y轴交于点N,弦PQ的中点为R.当M为C的右焦点且l的倾斜角为时,N,P重合,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当M,N均与原点O不重合时,过点N且垂直于OR的直线与x轴交于点H.求证:为定值.
参考答案:
(1) (2)见证明
【分析】
(1)根据题意得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程;(2)设直线,,,联立直线和椭圆的方程得到,点的坐标为,再求为定值.
【详解】(1)因为当为的右焦点,且的倾斜角为时,重合,.
所以,因此,,所以椭圆的方程为.
(2)设直线,,,
将代入得:,
所以,,
所以,
所以直线的方程为,所以点的坐标为,
又因为点,所以为定值.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. (14分)
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线B1C与平面ABC成30°角.
(I)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值;
(III)求二面角B—B1C—A的大小.
参考答案:
解析:解法一:
(I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,
∴B1B⊥AC,
又BA⊥AC,B1B∩BA=B,
∴AC⊥平面 ABB1A1,
又AC平面B1AC,
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1. …………4分
(II)解:过A1做A1M⊥B1A1,垂足为M,连结CM,
∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A,
∴A1M⊥平面B1AC.
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角,
∵直线B1C与平面ABC成30°角,
∴∠B1CB=30°.
设AB=BB1=a,可得B1C=2a,BC=,
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为 …………9分
(III)解:过A做AN⊥BC,垂足为N,过N做NO⊥B1C,垂足为O,连结AO,
由AN⊥BC,可得AN⊥平面BCC1B1,由三垂线定理,可知AO⊥B1C,
∴∠AON为二面角B—B1C—A的平面角,
∴二面角B—B1C—A的大小为 …………14分
解法二:
(I)证明:同解法一. …………4分
(II)解:建立如图的空间直角坐标系A—xyz,
∵直线B1C与平面ABC成30°角,
∴∠B1CB=30°.
设AB=B1B=1,
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为 …………9分
(III)解:设为平面BCC1B1的一个法向量,
∴二面角B—B1C—A的大小为 …………14分
20. 在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,.
(1)求b的值;
(2)求的值.
参考答案:
(1)2;(2).
【分析】
(1)在△ABC中,由,利用余弦定理可得,从而可得结果;(2)先求得,由正弦定理可得,利用二倍角的正弦公式可得,由同角三角函数的关系可得,进而由两角和的正弦公式可得结果.
【详解】(1)在△ABC中,根据余弦定理,,
于是,
解得或(舍去),故.
(2)在△ABC中,,于是.
根据正弦定理,得,.
又为钝角,为锐角,即.
从而,,
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
21. 已知函数,.[来源:Z|xx|k.Com]
(1)若对任意的实数,函数与的图象在处的切线斜率总相等,求的值
(2)若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(Ⅰ)
由题设知,且,即, ……2分
因为上式对任意实数恒成立, ……4分
故,所求 ……5分
(Ⅱ)即,
方法一:在时恒成立,则在处必成立,即,
故是不等式恒成立的必要条件. ……7分
另一方面,当时,记则在上,
……9分
时,单调递减;时,单调递增
,,即恒成立
故是不等式恒成立的充分条件. ……11分
综上,实数的取值范围是 ……12分
方法二:记则在上,
……7分
1 若,,时,,单调递增,,
这与上矛盾; ……8分
2 若,,上递增,而,
这与上矛盾;……9分
③若,,时,单调递减;时,单调递增
,即恒成立 ……11分
综上,实数的取值范围是 ……12分
略
22. [选修4—5:参数方程选讲](10分)在直角坐标系xOy中,曲线c1的参数方程是(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程是
(2)求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程;
(2)若两曲线交点为A、B,求.
参考答案:
(1)曲线的普通方程是:
曲线的直角坐标方程是:.5分
(2)因为是过点()的直线
所以的参数方程为: (为参数)
代入的普通方程,得
解得,故.10分