四川省成都市实验中学东校区2022年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A=,B={x≥a},且,则实数a的取值范围是( )
A.a≥-1 B.a≤-1 C.a≥1 D.a≤1
参考答案:
B
2. 在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.6
8.9
8.2[来源:学科网ZXXK]
8.9
方差s2
3.5
3.5
5.6
2.1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
参考答案:
D
略
4. 若直线a∥平面,a∥平面,直线b,则
A.a∥b或a与b异面 B. a∥b C. a与b异面 D. a与b相交
参考答案:
B
5. (5分)某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中纵轴表示离家的距离,横轴表示出发后的时间,则图中四个图形中较符合该学生走法的是 ()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 函数的图象.
专题: 常规题型;函数的性质及应用.
分析: 利用排除法解答,路程相对于时间一直在增加,故排除B,D,先跑后走,故先快后慢,从而得到.
解答: 由题意,
路程相对于时间一直在增加,故排除B,D,
先跑后走,故先快后慢,
故选C.
点评: 本题考查了实际问题的数学表示,属于基础题.
6. 已知=(4,8),=(,4),且,则的值是( )
(A)2 (B)-8 (C)-2 (D)8
参考答案:
B
7. 下列四个函数中与表示同一个函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 在△ABC中,,则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定
参考答案:
C
为钝角
9. 圆和圆的公切线条数
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
参考答案:
B
10. 函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
为偶函数
零点个数为
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n(2n+1),则a10= .
参考答案:
39
【考点】8H:数列递推式.
【分析】利用a10=S10﹣S9直接计算即可.
【解答】解:∵Sn=n(2n+1),
∴a10=S10﹣S9
=10×21﹣9×19
=210﹣171
=39,
故答案为:39.
12. 设函数=,若函数y=f(x)-a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是_______.
参考答案:
[0, 2)
【分析】
先将方程 变形为,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的范围.
【详解】函数有两个不同的零点,即有两个不同的交点,
所以函数与函数y=a有两个交点,如图所示:
所以a的范围是[0, 2)
【点睛】本题考查了数形结合和化归转化的数学思想,将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化,再利用数形结合确定参数a的范围,属于中档题目;解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.
13. 若偶函数在上为增函数,则满足的实数的取值范围是___
参考答案:
14. 已知m、l是直线,a、β是平面,给出下列命题:
(1)若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
(2)若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
(3)若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;
(4)若lβ,且l⊥α,则α⊥β;
(5)若mα,lβ,且α∥β,则l∥m.
其中正确的命题的序号是________.
参考答案:
(1)、(4)
略
15. (5分)从30名男生和20名女生中,采用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本,则抽到每个人的概率是 .
参考答案:
考点: 分层抽样方法.
专题: 概率与统计.
分析: 根据分层抽样的定义和概率的性质进行求解即可.
解答: 根据概率的性质可知用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本,则抽到每个人的概率是=,
故答案为:
点评: 本题主要考查分层抽样和概率的计算,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基础.
16. 已知集合,则一次函数的值域为 。
参考答案:
略
17. (5分)如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,=且=a,=b,则= .(结果用a,b表示)
参考答案:
考点: 平面向量的基本定理及其意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由,=,,即可得出.
解答: ∵,=,,
∴=+
=
=.
故答案为:.
点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是同一平面内的三个向量,其中.
(Ⅰ)若,且,求向量;
(Ⅱ)若,且与垂直,求与的夹角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)或;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)因为是在坐标前提下解决问题,所以求向量,即求它的坐标,这样就必须建立关于坐标的方程;(Ⅱ)求与的夹角的正弦值,首先应想到求它们的余弦值,如何求,还是要建立关于它的方程,可由与垂直关系,确立方程来解决问题.
试题解析:(Ⅰ),可设, 1分
∴,, 2分
∴ 4分
∴或. 6分
(Ⅱ)∵与垂直,∴,即 8分
∴,∴, 10分
,所以与的夹角的正弦值 12分
19. 已知定义在(﹣1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y).
(Ⅰ)求证:函数f(x)是奇函数;
(Ⅱ)如果当x∈(﹣1,0]时,有f(x)<0,试判断f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的判断;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若a﹣8x+1>0对满足不等式f(x﹣)+f(﹣2x)<0的任意x恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用.
【分析】(Ⅰ)根据题意,先分析函数的定义域,可得其定义域关于原点对称,进而令y=x=0,可得f(0)=0,再令y=﹣x,分析可得f(﹣x)=﹣f(x),即可得答案;
(Ⅱ)分析可得:y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,进而证明:先用定义法证明可得y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,进而结合函数的奇偶性可得y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,综合可得答案;
(Ⅲ)根据题意,由函数的奇偶性以及单调性可得:若f(x﹣)+f(﹣2x)<0,则必有,解可得x的范围,所以原问题等价于a﹣8x+1>0对于﹣<x<恒成立,分析可得a的取值范围,即可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由题可知,函数y=f(x)的定义域为(﹣1,1),关于原点对称;
对于f(x)+f(y)=f(x+y).
令y=x=0,可得2f(0)=f(0),从而f(0)=0,
再令y=﹣x,可得f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,即f(﹣x)=﹣f(x),
所以y=f(x)为(﹣1,1)上的奇函数;
(Ⅱ)y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,
证明如下:
设x1、x2为区间(﹣1,0]上的任意两个自变量的值,且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=f(x1﹣x2);
由于﹣1<x1<x2<0,所以﹣1<x1﹣x2≤0,从而f(x1﹣x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,
又由于y=f(x)为(﹣1,1)上的奇函数;
由奇函数的性质分析可得:y=f(x)为[0,1)上单调递增,
故y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,
(Ⅲ)根据题意,若f(x﹣)+f(﹣2x)<0,
则有f(x﹣)<f(2x﹣),
则必有,
解可得﹣<x<,
所以原问题等价于a﹣8x+1>0对于﹣<x<恒成立,
则必有a≥[8×()﹣1]=4,即a≥4;
故a的取值范围是[4,+∞).
20. )已知tan(α+)=
(1)求tanα的值
(2)求2cos2α+sin2α的值
参考答案:
21. 本小题满分12分
已知过点的直线被圆所截得的弦长为,
求直线的方程.
参考答案:
22. 已知函数f(x)=log2(4x+1)﹣ax.
(1)若函数f(x)是R上的偶函数,求实数a的值;
(2)若a=4,求函数f(x)的零点.
参考答案:
【考点】函数的值域;偶函数;对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据偶函数的定义建立恒等式f(﹣x)=f(x)在R上恒成立,从而求出a的值即可;
(2)将a=4代入,令f(x)=0然后解对数方程,先求出4x的值,然后利用对数表示出x的值即可.
【解答】解:(1)∵f(x)是R上的偶函数
∴f(﹣x)=f(x)即f(﹣x)﹣f(x)=0
∴[log2(4﹣x+1)﹣a(﹣x)]﹣[log2(4x+1)﹣ax]=0
﹣2x+2ax=0
即a=1
(2)若a=4,f(x)=log2(4x+1)﹣4x
令f(x)=0,log2(4x+1)=4x4x+1=24x(4x)2﹣4x﹣1=0
或(舍)
∴
【点评】本题主要考查了偶函数的性质,以及函数的零点,同时考查了对数方程的求解,属于中档题.