四川省成都市都江堰灌口中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题说法正确的是 ( )
A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“,使得”的否定是:“,均有”
D.命题“若,则”的逆命题为真命题
参考答案:
B
略
2. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】此几何体是底面积是S==1的三棱锥,与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为,即可得出.
【解答】解:此几何体是底面积是S==1的三棱锥,与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为,
∴V==.
3. 函数满足=o,其导函数的图象如下图,则的图
象与z轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B.
C.2 D.
参考答案:
B
4. 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如下表
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推, 例如6613用算筹表示就是: ,则26337用算筹可表示为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
个位、百位、万位对应纵式,十位、千位对应横式,查表可知选B
5. 函数的所有零点之和等于
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
参考答案:
C
由,得令
,在同一坐标系中分别做出函数,,,由图象可知,函数关于对称,又也是函数的对称轴,所以函数的交点也关于对称,且两函数共有6个交点,所以所有零点之和为6.
6. 已知等差数列,则数列{an}的公差d=( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
参考答案:
B
,
,,
可得,故选B.
7. 设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则的最小值为( )
A.1 B.3 C.2 D.4
参考答案:
A
略
8. 设集合,,若集合A∩B中有且仅有2个元素,则实数a的取值范围为
A. (0,2) B. (2,4]
C. [4,+∞) D. (-∞,0)
参考答案:
B
【分析】
由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.
【详解】由题意知,,则,故,
又,则,所以,
所以本题答案为B.
9. 设集合,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 记数列{}的前n项和为,且=2(-1),则a2等于
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与圆交于,两点,,则实数
参考答案:
必要不充分
12. 已知△的三个内角所对的边分别为,若△的面积为,则 .
参考答案:
13. 如右上图,如果执行它的程序框图,输入正整数,那么输出的等于 .
参考答案:
1680
14. 函数y=(sinx+cosx)2的最小正周期是 .
参考答案:
π
略
15. 设函数,则下列命题中正确命题的序号有 ▲ .
①当时,函数在R上是单调增函数;
②当时,函数在R上有最小值;
③函数的图象关于点(0,c)对称;
④方程可能有三个实数根.
参考答案:
①③④
略
16. 已知,且为第二象限角,则的值为_____________.
参考答案:
略
17. 已知函数,若在区间上的最大值、最小值分别为,则= .
参考答案:
4
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4—4:坐标系与参数方程。
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
(2)在曲线上求一点P,使点P到直线的距离最大,并求出此最大值.
参考答案:
解(Ⅰ) 由题意知,直线的直角坐标方程为:,…………2分
∵曲线的直角坐标方程为:,
∴曲线的参数方程为:.………………5分
(Ⅱ) 设点P的坐标,则点P到直线的距离为:
,………………7分
∴当sin(600-θ)=-1时,点P(),此时.…………10分
略
19. 已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(I) 若函数在时有极值,求的表达式;
(II) 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)f′(x)=3x2+2ax+b
∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.
∴即
∵函数y=f(x)在x=﹣2时有极值
∴f′(﹣2)=0即﹣4a+b=﹣12
∴
解得a=2,b=﹣4,c=5
∴f(x)=x3+2x2﹣4x+5
(2)由(1)知,2a+b=0
∴f′(x)=3x2﹣bx+b
∵函数y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增
∴f′(x)≥0即3x2﹣bx+b≥0在[﹣2,1]上恒成立
f′(x)的最小值为f′(1)=1﹣b+b≥0∴b≥6
f′(﹣2)=12+2b+b≥0∴b∈?
,f′(x)的最小值为
∴0≤b≤6
总之b的取值范围是0≤b≤6
20. 已知函数()。
(1)讨论函数的单调性;
(2)当为偶数时,正项数列{}满足=1,,求{}的通项公式;
(3)当是奇数,x>0,时,求证:。
参考答案:
(1)由已知得x>0,。
当k是奇数时,则>0,∴在(0,+∞)上是增函数.
当k是偶数时,则
∴当x∈(0,1)时,<0;
当x∈(1,+∞)时,>0。
故当k是偶数时,在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数
(2)当为偶数时,(x>0),
由已知得,
从而2=,所以,
∴数列是以为首项,公比的等比数列,
∴,,因为,所以。
(3)当是奇数时,(x>0),
∴左边=-·(2+)
(++…++)
令S=++…++,
两式相加得++…+
≥2(…+,
∴。因此成立。
21. [不等式证明选讲]
已知函数,
(I)解不等式2;
(II)若,求证:.
参考答案:
(Ⅰ)∵.
因此只须解不等式.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
当时,原不式等价于,即.
综上,原不等式的解集为. ……………………………5分
(Ⅱ)∵
又时,
∴时,. …………………………10
22. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成中随机抽取8次,记录如下
甲:82,91,79,78,95,88,83,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85.
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学角度,你认为派哪位学生参加合请说明理由.
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
参考答案:
【考点】茎叶图;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)用茎叶图表示两组数据,首先要先确定“茎”值,再将数据按“茎”值分组分类表示在“叶”的位置.
(2)选派学生参加大型比赛,根据不同的标准选派的方法也不一样①是要寻找成绩优秀的学生,就要分析两名学生的平均成绩②若平均成绩相等,再由茎叶图或是由方差(标准差)分析出成绩相比稳定的学生参加③为了追求高分产生的概率,也可以从高分产生的概率方面对两人进行比较.
(3)数学期望的计算,可先由给定数据列出分布列,再根据数学期望的计算公式给出结果.
【解答】解:(1)茎叶图如图
(2)方法一:(根据成绩稳定的优秀学生参加原则)
==85,但S甲2<S乙2
所以选派甲合适
方法二:(根据高分产生概率高的学生参加原则)
假设含9为高分,则甲的高分率为,乙的高分率为,
所以派乙合适.
或:假设含8为高分,则甲的高分率为,乙的高分率为,
所以派乙合适.
(3)甲高于8的频率为ξ的可能取值为0、1、2、3
∵,
∴,(k=0,1,2,3)
∴ξ的分布列为
∴