山西省大同市北村乡中学高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线的倾斜角的大小为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设为全集,为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 函数的零点所在的一个区间是( )ks5u
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
参考答案:
B
略
4. 函数的图象可能是( )
参考答案:
D
5. 某班有60名学生,其中正、副班长各1人,现要选派5人参加一项社区活动,要求正、副班长至少1人参加,问共有多少种选派方法?下面是学生提供的四个计算式,其中错误的是( )
A.CC
B.C﹣C
C.CC﹣CC
D.CC+CC
参考答案:
A
【考点】组合及组合数公式.
【分析】根据题意,利用分类方法来解排列数,用所有的从60人选5个减去不合题意的,可知选项B正确,两个班长中选一个,余下的59人中选4个,减去重复的情况知C正确,当有一个班长参加和当有两个班长参加得到结果是选项D,而A的计算公式有重复的情况,综合可得答案
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于B:运用的排除法,先在所有的从60人选5个,有C605种情况,再排除其中不合题意即没有班干部的C585种情况,即有C﹣C种情况,B正确;
对于C:运用的排除法,先两个班长中选1个,余下的59人中选4个,有C21C594种情况,再排除其中有2个班长参加的C22C583种情况,
即有C21C594﹣C22C583种情况,可知C正确,则A错误;
对于D:运用的分类加法原理,当有一个班长参加时,有C21C584种情况,当有2个班长参加时,有C22C583种情况,共有C21C584+C22C583种情况,D正确:
故选A.
6. 已知定义在R上的奇函数,,对任意的,
则不等式的解集为( ▲ )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 若直线与曲线有且仅有三个交点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 空间四边形ABCD中,对角线AC=BD,E,F,G,H分别为AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是 ( )
A、正方形 B、矩形 C、梯形 D、菱形
参考答案:
D
略
9. 椭圆,P为椭圆上一点,则过点P且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知点是椭圆上的动点,为椭圆的两个焦点,是原点,若是的角平分线上一点,且,则的取值范围是( )
A.[0,3] B. C. D.[0,4]
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 到圆上的任意点的最大距离是__________.
参考答案:
设圆心为,,
,
∴到圆的最大距离为.
12. 若且,则的最大值是_______.
参考答案:
4
略
13. 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足,则△ABC面积的最大值为 .
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边,利用正弦定理化简已知的等式右边,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0,可得出cosA的值,然后利用余弦定理表示出cosA,根据cosA的值,得出bc=b2+c2﹣a2,再利用正弦定理表示出a,利用特殊角的三角函数值化简后,再利用基本不等式可得出bc的最大值,进而由sinA的值及bc的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值.
【解答】解:由r=1,利用正弦定理可得:c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB,
∵tanA=,tanB=,
∴===,
∴sinAcosB=cosA(2sinC﹣sinB)=2sinCcosA﹣sinBcosA,
即sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,
∵sinC≠0,∴cosA=,即A=,
∴cosA==,
∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣(2rsinA)2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3,
∴bc≤3(当且仅当b=c时,取等号),
∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=,
则△ABC面积的最大值为:.
故答案为:.
14. = ▲ .
参考答案:
15. 函数,则=_______
参考答案:
略
16. 某高中社团进行社会实践,对开通“微博”的人群进行调查,并称开通“微博”的为“时尚族”,现对[25,55]岁的“时尚族”人群随机抽取人, 通过调查得到如
下图所示的各年龄段人数频率分布直方图. (每个组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示年龄在).则年龄在的人数是_____________.
参考答案:
略
17. 如图所示,二面角α-l-β为60°, A,B是棱l上的点, AC,BD分别在半平面α,β内, AC⊥l,BD⊥l, 且AB=AC=a,BD=2a, 则CD的长为 .
参考答案:
2a .
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x >0时,ex >x2-2ax+1
参考答案:
略
19. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线和圆的方程的应用;圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,由此能求了圆的方程.
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,由此推导出存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.
【解答】(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,
所以,
即|4m﹣29|=25.因为m为整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=25. …
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,
代入圆的方程,消去y,
整理,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,
故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,
即12a2﹣5a>0,
由于a>0,解得a>,
所以实数a的取值范围是().
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,
则直线l的斜率为,
l的方程为,
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2﹣4a=0,解得.
由于,故存在实数
使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.…
20. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出f′(x),因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值,所以得到f′(﹣)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间;
(2)根据(1)函数的单调性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范围即可.
【解答】解;(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b
由解得,
f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(﹣∞,﹣)
﹣
(﹣,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣)和(1,+∞),递减区间是(﹣,1).
(2),
当x=﹣时,f(x)=+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<c2对x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需c2>f(2)=2+c.
解得c<﹣1或c>2.
21. (本小题满分15分)
如图,椭圆的标准方程为,P为椭圆上的一点,且满足,
(1)求三角形PF1F2的面积。
(2)若此椭圆长轴为8,离心率为,求点P的坐标。
参考答案:
解:+=2a 得 +2+=4a
又PF⊥PF +=4C ∴=2b
∴S= b …………………………………………………7′
(2) 由a=4 = 得b=4 ……………….9′
∴椭圆的标准方程为+=1 ………………………10′
由PF⊥PF ∴P为以FF为直径的圆上。……………….13′
+=1 ① x+y=12 ② 联列方程组 得x= y=
P(,) P(-,) P(-,-) P (,-)
………………………………………………….15′
22. (1)将101111011(2)转化为十进制的数; (2)将53(8)转化为二进制的数.
参考答案:
(1)101111011(2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379.
(2)53(8)=5×81+3=43.
∴53(8)=101011(2).