山西省大同市天镇县第四中学2022年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意a∈R，a*0=a； （2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）． 关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法： ①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]． 其中所有正确说法的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题；新定义；函数的性质及应用． 【分析】根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断． 【解答】解：由定义的运算知，f（x）=）=（ex）*==1+ex+， ①f（x）=1+ex+=3，当且仅当，即x=0时取等号， ∴f（x）的最大值为3，故①正确； ②∵f（﹣x）=1+=1+=f（x）， ∴f（x）为偶函数，故②正确； ③f'（x）==， 当x≤0时，f′（x）=≤0， ∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③错误． 故正确说法的个数是2， 故选C． 【点评】本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．本题的关键是对f（x）的化简． 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A．      B．     C．      D． 参考答案： D 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞﹚上是减函数，，那么不等式的解集是                                                      （    ）     A．                         B．     C．                       D． 参考答案： B 4. 执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是(     ) A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：图表型． 分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件． 解答： 解：根据程序框图，运行结果如下：               S        k   第一次循环    log23    3 第二次循环    log23?log34    4 第三次循环    log23?log34?log45    5 第四次循环    log23?log34?log45?log56    6 第五次循环    log23?log34?log45?log56?log67    7 第六次循环    log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3   8 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7． 故选B． 点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题． 5. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（   ） A． B． C． D．  参考答案： D 6. 若变量满足约束条件则的最大值等于（   ） A． 11       B．10       C． 8       D． 7 参考答案： B 解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线，当直线经过（4，2）时，截距达到最大，即取得最大值10.故选答案B. 7. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于（    ） A．[－1，3）    B．（0，2]         C．（1，2]          D．（2，3） 参考答案： B 8. 集合,,若,则的值为 A．0           B．1            C．2            D．4 参考答案： D 9. 圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（   ） （A）          （B）              （C）            （D） 参考答案： A 试题分析：圆的标准方程为，圆心到直线的距离为1，故圆心角为，故劣弧长为 考点：直线与圆的位置关系、弧长公式 10. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是               ． 参考答案： 或 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 参考答案： 4 12. 在△OAB中，点C满足，则y－x＝________。 参考答案： 13. 已知函数恒成立，则实数a的取值范围是          参考答案： 略 14. 若，则的值 是              ;       参考答案：    略 15. 如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若轴，则四边形ABCD的面积为_____. 参考答案： 分析：设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可． 详解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1． 则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2． 因为A、B在过点O的直线上，所以 点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）． 由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13． 代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1． 由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=． 于是点A的坐标为（，log8）即A（，log23） ∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）． ∴梯形ABCD的面积为S=（AC+BD）×BC=（ log23+log23）×2=log23． 故答案为：log23 点睛：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 16. 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=        参考答案： 【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． 取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=． 故答案为：． 【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值． 【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用． 17. 已知函数的图象的一部分如下图所示，当时,则函数的最大值是____________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （Ⅰ）若函数在(0,+∞)上是减函数，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若函数在(0,+∞)上存在两个极值点，，且，证明：. 参考答案： （Ⅰ）由函数在上是减函数，知恒成立， . 由恒成立可知恒成立，则， 设，则， 由，知， 函数在上递增，在上递减， ∴，∴. （Ⅱ）由（1）知. 由函数在上存在两个极值点，，且，知， 则且， 联立得， 即， 设，则， 要证，只需证，只需证， 只需证. 构造函数，则. 故在上递增，，即，， 所以. 19. （18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 的地面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=600 。已知PB=PD=2，PA= . （Ⅰ）证明：PC⊥BD （Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积。 参考答案： 20. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l的参数方程为为参数)，圆C的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l和圆C的极坐标方程； (2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求的值． 参考答案： （1） ； （2）5 . 【分析】 （1）先求出直线的普通方程，再根据得到相应的极坐标方程． （2）设直线的参数方程为，利用的几何意义可计算． 【详解】(1)直线普通方程为， 将  代入得，， 整理得直线的极坐标方程为. 圆的极坐标方程为. (2)直线的参数方程为（为参数）将其代入得，所以. 【点睛】（1）直角坐标转化为极坐标，关键是，而极坐标转化为直角坐标，关键是． （2）若直线的参数为（参数，为直线的倾斜角），则是之间的距离，我们常利用这个几何意义计算线段的乘积、线段的和或线段的差等． 21. 如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2． （Ⅰ）求DE的长； （Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】选作题；推理和证明． 【分析】（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长； （Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC2=PD?PE，结合（Ⅰ）的结论和PC=2，代入即可求出PD的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE， ∴DH=HE， ∴DH2=AH?BH=（10﹣2）×2=16， ∴DH=4， ∴DE=2DH=8； （Ⅱ）∵PC切圆O于点C， ∴PC2=PD?PE， 即（2）2=PD?（PD+8）， ∴PD=2． 【点评】本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键． 22. （12分）     在中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，设a=4，c=3，. （Ⅰ）求的值；  （Ⅱ）求的面积. 参考答案： 解析：（Ⅰ）解：因为,                   ------3分       在中，由余弦定理， 得， 所以b=；                               ------------------6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， 所以，                         -----------9分 由三角形的面积公式， 得. 所以的面积为.                          ---------------12分