广东省梅州市龙虎中学2022-2023学年高二数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S'（t）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象． 【分析】总面积一直保持增加，则导数值一直为正，但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，进而得到答案． 【解答】解：总面积一直保持增加，则导数值一直为正，故排除B； 总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小， 故导函数y=S'（t）的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减， 故排除CD， 故选．A 2. 右边程序运行后的输出的结果为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 3. 已知函数，若，则实数a的值为（    ）   A．            B．            C．            D．  参考答案： D 4. 命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　） A．?x∈R，|x|+x2＜0 B．?x∈R，|x|+x2≤0 C．?x0∈R，|x0|+x02＜0 D．?x0∈R，|x0|+x02≥0 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定?x0∈R，|x0|+x02＜0， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 5. 由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为            (　　) A. ②①③ B. ③①② C. ①②③ D. ②③① 参考答案： D 考查三段论的知识；大前提是一个公理，即②矩形的四个内角相等；小前提是大前提的一种特殊情况，即③正方形是矩形，在这两个前提下得出结论①正方形的四个内角相等；所以选D 6. 当x，y满足条件| x – 1 | + | y + 1 | < 1时，变量u =的取值范围是（    ） （A）( –，)      （B）( –，)       （C）( –，)      （D）( –，) 参考答案： B 7. 函数的零点所在的区间是（      ） A． B． (-1,0) C．(1，2) D． (-2,-1) 参考答案： B 8. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点， 相应的图案中总的点数记为，则…= A．    B．    C． D． 参考答案： B 略 9. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（    ） A.         B.      C.     D.无法计算 参考答案： C 10. 若且，则是 (         ) A．第一象限角        B．第二象限角      C．第三象限角   D．第四象限角 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过三点（1,0），（2，-1），（2,0）的圆的标准方程是___________________. 参考答案： x2+y2-3x+y+2=0 12. a＞0是函数y=ax2+x+1在（0，+∞）上单调递增的　　    条件． 参考答案： 充分不必要 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】对于函数y=ax2+x+1，对a分类讨论，利用一次函数与二次函数的单调性即可判断出结论． 【解答】解：对于函数y=ax2+x+1，a=0时，y=x+1在（0，+∞）上单调递增； a＞0时，y=a+1﹣在上单调递增，因此在（0，+∞）上单调递增； a＜0时，y=a+1﹣在上单调递减，因此在（0，+∞）上单调递减． 由以上可得：a＞0是函数y=ax2+x+1在（0，+∞）上单调递增的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13. 椭圆+=1的右顶点到它的左焦点的距离为          ． 参考答案： 20 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】椭圆+=1可得：a=12，b2=80，．即可得出右顶点，左焦点． 【解答】解：椭圆+=1可得：a=12，b2=80，=8． 右顶点（12，0）到它的左焦点（﹣8，0）的距离d=12﹣（﹣8）=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣，+∞） 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】问题等价于x++≥﹣3a．令g（x）=x++，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可． 【解答】解：x∈[2，∞），f（x）≥0， 即x3+3ax2+3x+1≥0， 即x++≥﹣3a． 令g（x）=x++， 则g'（x）=， 下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立， 也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立， 令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）， 易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立， ∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数， ∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立， ∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数， ∴g（x）的最小值为g（2）=， ﹣3a≤g（2）=， 解得a≥﹣， 故答案为：[﹣，+∞）． 15. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为         . 参考答案： 且 原方程可化为，它表示椭圆的条件为且 16. 为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象________． 参考答案： 向右平移个长度单位 17. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是　　． 参考答案： 甲 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】利用反证法，可推导出丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案． 【解答】解：①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故甲说的是谎话； ②假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故乙说的是谎话； ③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故丙说的是谎话； 综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话， 即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任， 故答案为：甲 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点． （Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标； （Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|?|BE|是定值． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与抛物线的位置关系；圆锥曲线的范围问题． 【分析】（Ⅰ）求出抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a，求出导函数利用切线方程，结合韦达定理，化简求解即可． （Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．求出圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，吐槽|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，利用|AD|?|BE|=y1y2，转化求解|AD|?|BE|为定值． 【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），… 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0， 则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a．… （Ⅰ）由x2=4y有，则，… 则抛物线C在处的切线为， 即…①… 同理抛物线C在处的切线为…②… 联立①②解得，代入①式解得， 即P（2k，﹣a）．… （Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4． 由条件可知圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，… 由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，… 则|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，…10分， |AD|?|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1） =， （或） 即|AD|?|BE|为定值，定值为1．… 19. （本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示. （Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差； （Ⅱ）如果X =7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率. （注：方差其中） 参考答案： （I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，[学。 所以，得X=9                …………………………………3分 甲组同学数学成绩的方差为        ……………  6分 (II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为： 共16个基本事件                . …… 9分 设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，         ……10分 ∴ 所以这两名同学的数学成绩之和大于180的概率为             .…………………………12分 20. 某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示： 年份2017+x 0 1 2 3 4 人口总数y 5 7 8 11 19 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程； （2）据此估计2022年该城市人口总数. 附： ， . 参考数据： ， .   参考答案： 解：（1）由题中数表，知，            ……………2分