河南省商丘市民权县实验中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中是偶函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知是异面直线,给出下列命题
1 一定存在平面过直线且与b平行.
2 一定存在平面过直线且与b垂直.
3 一定存在平面与直线,b都垂直.
4 一定存在平面与直线,b的距离相等.
其中正确命题的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
3. 已知函数 在(5,10)上有单调性,则实数的取值范围是( )
A.(,20] B.( C.[20,40] D.
参考答案:
B
略
4. 数列的前项和为,若,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5.
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 在△ABC中,若,,,则b等于( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案:
D
【分析】
直接运用正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理可知中:,故本题选D.
【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了数学运算能力.
7. 函数f(x)=| x2-6x+8 |-k只有两个零点,则( )
A.k=0 B.k>1
C.0≤k<1 D.k>1,或k=0
参考答案:
D
8. 下列函数中,在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 下列四组函数中,f (x)与g (x)表示同一个函数的是( )
A.f (x) = |x|,g(x) = ()2 B.f (x) = 2x,g (x) =
C.f (x) = x,g (x) = D.f (x) = x,g (x) =
参考答案:
D
10. 若| , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果实数满足等式,那么的最大值是________
参考答案:
略
12. △ABC三个内角分别为A,B,C,且sinA,sinC,sinB成等差数列,则cosC的最小值是 .
参考答案:
13. 在△ABC中,若,则_____________.
参考答案:
14. 函数的定义域是____ ______
参考答案:
略
15. 已知1是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是 .
参考答案:
1或
16. 已知f(x)是定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)的偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣)=0,若x?[f(x)+f(﹣x)]<0,则x的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣)∪(0,)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解:∵函数是偶函数函数,
∴不等式x?[f(x)+f(﹣x)]<0等价为2x?f(x)<0,
∵在区间(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣)=0,
∴在区间(0,+∞)上单调递增,且f()=0,
则对应的图象如图:
当x>0,f(x)<0,由图象知此时0<x<,
当x<0,f(x)>0,x<﹣,
综上不等式的解集为(﹣∞,﹣)∪(0,),
故答案为:(﹣∞,﹣)∪(0,)
【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键.
17. 已知等差数列{an}首项为a,公差为b,等比数列{bn}首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<a3,对于任意的n∈N*,总存在m∈N*,使得am+3=bn成立,则an= .
参考答案:
5n﹣3
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】先利用a1<b1,b2<a3,以及a,b都是大于1的正整数求出a=2,再利用am+3=bn求出满足条件的b的值即可求出等差数列{an}的通项公式.
【解答】解:∵a1<b1,b2<a3,
∴a<b以及ba<a+2b
∴b(a﹣2)<a<b,
a﹣2<1?a<3,
a=2.
又因为 am+3=bn?a+(m﹣1)b+3=b?an﹣1.
又∵a=2,b(m﹣1)+5=b?2n﹣1,则b(2n﹣1﹣m+1)=5.
又b≥3,由数的整除性,得b是5的约数.
故2n﹣1﹣m+1=1,b=5,
∴an=a+b(n﹣1)=2+5(n﹣1)=5n﹣3.
故答案为5n﹣3.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如果对于区间I 内的任意,都有,则称在区间I 上函数的图象位于函数图象的上方.
(1) 已知 求证:在上,函数的图象位于的图象的上方;
(2) 若在区间上,函数的图象位于函数图象的上方,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) 对任意,
∵ ∴, ∴ ∴
∴在上,函数的图象位于的图象的上方;
(2) 由题设知,对任意, 总成立.
即:在上恒成立.
令,则,
记,
而在上是减函数,在上也是减函数
∴函数在上是减函数
所以在的最大值为
∴所求实数的取值范围象是
略
19. (本题满分12分)已知函数,若时,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
由题设,即的最小值大于或等于0,
而的图象为开口向上,对称轴是的抛物线,
当即时,在上单调递增,∴,此时;
当即时,在上单调递减,在上单调递增,∴,此时;
当即时,在上单调递减,∴,此时
;综上得:.
20. 已知函数 的图象上相邻两个最高点的距离为π。
(1)求的对称中心。
(2)若在是减函数,求的最大值。
参考答案:
(1)
-------------6分
(2)
------------12分
21. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若对任意实数x,不等式2x≤f(x)(x+1)2恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+2a|x﹣1|,x∈[﹣2,2]的最小值为﹣1,求a的值.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)在给出的不等式中,令x=1,根据这个条件可求出f(1)的值;
(2)联立f(1)=2,即可求出a+c与b的关系式.由f(x)﹣2x≥0恒成立,即:ax2+(b﹣1)x+c≥0对于一切实数x恒成立,只有当a>0,且△=(b﹣2)2﹣4ac≤0时,求得a=c>0,再由f(x)(x+1)2恒成立,可得二次项系数小于0,判别式小于等于0,解不等式即可得到a的范围;
(3)讨论当1≤x≤2时,当﹣2≤x<1时,去掉绝对值,运用二次函数的对称轴和区间的关系,求得最小值,解方程可得a的值.
【解答】解:(1)令x=1,由2x≤f(x)(x+1)2可得,
2≤f(1)≤2,∴f(1)=2;
(2)由f(1)=2可得a+b+c=2,即为b=2﹣(a+c),
∵对于一切实数x,f(x)﹣2x≥0恒成立,
∴ax2+(b﹣2)x+c≥0(a≠0)对于一切实数x恒成立,
∴,即.
可得(a﹣c)2≤0,但(a﹣c)2≥0,即有a=c>0,
则f(x)=ax2+bx+a,
f(x)(x+1)2恒成立,即为(a﹣)x2+(b﹣1)x+(a﹣)≤0,
可得a﹣<0,且△=(b﹣1)2﹣4(a﹣)2≤0,
由b﹣1=1﹣2a,即有△=0成立;
综上可得a的范围是(0,);
(3)函数g(x)=f(x)+2a|x﹣1|=ax2+(2﹣2a)x+a+2a|x﹣1|(0<a<),
当1≤x≤2时,g(x)=ax2+2x﹣a在[1,2]递增,可得x=1时,取得最小值2;
当﹣2≤x<1时,g(x)=ax2+(2﹣4a)x+3a,对称轴为x=,
当≤﹣2,即为0<a≤时,[﹣2,1)递增,
可得x=﹣2取得最小值,且为4a﹣4+8a+3a=﹣1,解得a=;
当>﹣2,即<a<时,
x=,取得最小值,且为=﹣1,
解得a=?(,).
综上可得,a=.
【点评】此题考查的是二次函数解析式问题,题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系,以及不等式恒成立问题的解法;抓住不等式恒成立的条件,考查二次函数最值的求法,注意讨论对称轴和区间的关系,属于中档题.
22. 已知向量,且.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)若函数.
①当时求的最小值和最大值;
②试求的最小值.
参考答案:
(I),;(II)①;②.
(2)①
∵,∴
考点:三角函数的恒等变换;平面向量的数量积的运算;三角函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换;平面向量的数量积的运算;三角函数的最值等知识的综合应用,本题的解答中①把代入,求出的范围后利用换元法求出的最值;②换元,然后求出二次函数的对称轴方程,在对分段求出的最小值是解答的关键,着重考查了学生推理与运算能力和分析问题和解答问题的能力.