河南省濮阳市巩营公社中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆心在直线2x﹣y﹣6=0上的圆C与y轴交于两点A(0,﹣5),B(0,﹣3),则圆C的方程是( )
A.(x﹣1)2+(y+4)2=2 B.(x+1)2+(y﹣4)2=2
C.(x﹣1)2+(y﹣4)2=2 D.(x+1)2+(y+4)2=2
参考答案:
A
【考点】圆的标准方程.
【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线,再由条件求出圆心的坐标,根据圆的定义求出半径即可.
【解答】解:∵圆C与y轴交于A(0,﹣5),B(0,﹣3),
∴由垂径定理得圆心在y=﹣4这条直线上.
又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣6=0上,
∴联立,
解得x=1,
∴圆心C为(1,﹣4),
∴半径r=|AC|==.
∴所求圆C的方程为(x﹣1)2+(y+4)2=2.
故选:A.
【点评】本题考查了如何求圆的方程,主要用了几何法来求,关键确定圆心的位置;还可用待定系数法.
2. 若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合,则值是( )
参考答案:
A
略
12、无论,,,是否为非零向量,下列命题中恒成立的是 ( )
A、
B、若,,则
C、
D、
参考答案:
D
略
4. 设有一个回归方程为 =3-5x,变量x增加一个单位时 ( )
A.y平均增加3个单位 B.y平均减少5个单位
C.y平均增加5个单位 D.y平均减少3个单位
参考答案:
B
略
5. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使,则|PF1|?|PF2|=( )
A.b2 B.2b2 C.2b D.b
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由F1、F2是椭圆的两个焦点,椭圆上存在点P,使,PF1⊥PF2,知=|PF1|?|PF2|=b2,由此能求出结果.
【解答】解:∵F1、F2是椭圆的两个焦点,
椭圆上存在点P,使,
∴PF1⊥PF2,
∴=|PF1|?|PF2|=b2tan=b2,
∴|PF1|?|PF2|=2b2.
故选B.
【点评】本题考查椭圆的性质的简单应用,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
6. 直线,当变化时,所有直线都通过定点 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 展开式中的系数为( )
(A)15 (B)60 (C)120 (D)240
参考答案:
B
8. 用数学归纳法证明:时,从“到”
时,左边应添乘的式子是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
时,左边,
时,左边,
∴增加的为.
9. 甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分比乙同学高;
③甲同学的平均分比乙同学低;
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差.
上面说法正确的是( )
A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④
参考答案:
A
【分析】由茎叶图数据,求出甲、乙同学成绩的中位数,平均数,估计方差,从而解决问题.
【解答】解:根据茎叶图数据知,
①甲同学成绩的中位数是81,乙同学成绩的中位数是87.5,
∴甲的中位数小于乙的中位数;
②甲同学的平均分是==81,
乙同学的平均分是==85,
∴乙的平均分高;
③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85,
∴甲比乙同学低;
④甲同学成绩数据比较集中,方差小,乙同学成绩数据比较分散,方差大.
∴正确的说法是③④.
故选:A.
10. 已知,,,则动点的轨迹是( )
(A)双曲线 (B)圆 (C)椭圆 (D)抛物线
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知首项为2的正项数列{an}的前n项和为Sn,且当n≥2时,.若恒成立,则实数m的取值范围为_______________.
参考答案:
由题意可得:,两式相减可得:,
因式分解可得:,又因为数列为正项数列,
所以,故数列为以2为首项,3为公差的等差数列,
所以,所以恒成立,即其最大值小于等于.
由于函数分母为指数型函数,增长速度较快,所以当较大时,函数值越来越小,较小时存在最大值,经代入验证,当时有最大值,所以.
12. 若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_______________
参考答案:
1或2
13. 圆和圆相内切,若,且,则的最小值为 _________ .
参考答案:
9
14. 有ABCD四个朋友住在同一个城镇上,其中一个是农民、一个是民警、一个是木匠、一个是医生.一天A的儿子摔坏了腿,A带着儿子去找医生,医生的妹妹是C的妻子,农民没有结婚,他家养了很多母鸡,B经常到农民家中去买鸡蛋,民警每天都与C见面,因为他俩住隔壁根据这些信息,可判断A、B、C、D的身份是:
A是_________B是_________C是_________D是__________
参考答案:
A 民警 B医生 C木匠 D农民
略
15. 曲线C:在点处的切线方程为 .
参考答案:
由题可得: ,f(1) =1,切线方程为:y-1=3(x-1)
即,故答案为:
16. 在直角三角形中,两直角边分别为,设为斜边上的高,则,由此类比:三棱锥的三个侧棱两两垂直,且长分别为,设棱锥底面上的高为,则 .
参考答案:
17. 已知圆C:,则过圆上一点P(1,2)的切线方程是 __________ .
参考答案:
x+2y-5=0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x3﹣3x.
(Ⅰ)求f′(2)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间和极值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,将x=2代入导函数求出即可;
(Ⅱ)求导数f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可得单调区间,由极值定义可求得极值.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=3x2﹣3,
所以f′(2)=9;
(Ⅱ)f′(x)=3x2﹣3,
令f′(x)>0,解得x>1或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<1.
∴(﹣∞,﹣1),(1,+∞)为函数f(x)的单调增区间,(﹣1,1)为函数f(x)的单调减区间;
∴f(x)极小值=f(1)=﹣2,f(x)极大值=f(﹣1)=2.
19. 如图,斜三棱柱的所有棱长均为,侧面底面,且.
(1) 求异面直线与间的距离;
(2) 求侧面与底面所成二面角的度数
参考答案:
解析:(1)如图,取中点D,连.
.
,
∴.
由.……………4分
∥ ∥平面.
所以异面直线与间的距离等于.……………6分
(2)如图,
……………………………………8分
.……………………12分
20. 已知函数(为实数,,),
(Ⅰ)若, 且函数的值域为,求的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,,,且函数为偶函数,判断是
否大于?
参考答案:
解:(Ⅰ)∵,∴.
∵的值域为,∴
∴. 解得,. 所以.
∴
(Ⅱ)∵
=,
∴当 或时单调.
即的范围是或时,是单调函数.
(Ⅲ)∵为偶函数,所以.
∴
∵,不妨设,则.
又,∴.∴>
此时.
即.
略
21. (14分)如图,过原点O引两条直线l1,l2与抛物线W1:y2=2px和W2:y2=4px(其中P为常数,p>0)分别交于四个点A1,B1,A2,B2.
(Ⅰ)求抛物线W1,W2准线间的距离;
(Ⅱ)证明:A1B1∥A2B2;
(Ⅲ)若l1⊥l2,求梯形A1A2B2B1面积的最小值.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可求出答案,
(Ⅱ)设l1:y=k1x,代入抛物线方程,得A1,A2的横坐标分别是和,即可得到△OA1B1∽△OA2B2,即A1B1∥A2B2.
(Ⅲ)A(x1,y1)B(x2,y2),直线A1B1方程为x=ty+m1,根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A1B1方程为x=ty+2p,A2B2方程为x=ty+4p,
再根据弦长公式和两直线之间的距离公式,以及梯形的面积公式即可求出答案.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,抛物线W1,W2的准线分别为x=﹣和x=﹣p,
所以,抛物线W1,W2准线间的距离为
(Ⅱ)设l1:y=k1x,代入抛物线方程,得A1,A2的横坐标分别是和.
∴==,同理=,
所以△OA1B1∽△OA2B2,
所以A1B1∥A2B2.
(Ⅲ)设A(x1,y1)B(x2,y2),直线A1B1方程为x=ty+m1,
代入曲线y2=2px,得y2﹣2pty﹣2pm1=0,
所以y1+y2=2pt,y1y2=﹣2pm1.
由l1⊥l2,得x1x2+y1y2=0,又y12=2px1,y22=2px2,
所以+y1y2=0,由y1y2=﹣2pm1,得m1=2p.
所以直线A1B1方程为x=ty+2p,
同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p,
所以|A1B1|=|y1﹣y2|=2p?,|A2B2|=4p?,
平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=,
所以梯形A1A2B2B1的面积≥12p2
当t=0时,梯形A1A2B2B1的面积达最小,最小值为12p2.
【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系,考查了学生的运算能力,以及转化能力,属于中档题.
22. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设点.若直l与曲线C相交于两点A,B,求的值.
参考答案:
(1),;(2).
【分析】
(1)利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程,极坐标方程展开后,两边同乘以,利用 ,即可得曲线的直角坐标方程;(2)直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.
【详解】(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简,得
直线l普通方程为.
将曲线C的极坐标方程化为.
即.∴x2+y2=2y+2x.
故曲线C的直角坐标方程为.
(2)将直线l的参数方程代入中,得
.
化简,得.
∵Δ>0,∴此方程的两根为直