北京九渡河中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 若x>0,y>0,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
C
【考点】基本不等式.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】平方后利用基本不等式的性质即可得出.
解:∵x>0,y>0,∴t=>0.
∴=,
∴,当且仅当x=y时取等号.
∴的最小值为.
故选:C.
【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质,属于基础题.
3. 某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( )
A.30 B.25 C.20 D.15
参考答案:
C
4. 向量、,下列结论中,正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
试题分析:由,则易得:,故选D .
考点:向量的坐标运算.
5. 设为坐标原点,动点满足
的最小值是 ( )
A.-1 B.+1 C.-2 D.1.5
参考答案:
答案:A
6. 设是虚数单位,若复数是实数,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知集合,集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
试题分析:不能推出故是的充分不必要条件.
考点:1、充分条件与必要条件;2、指数不等式解法.
8. 一个由实数组成的等比数列,它的前6项和是前3项和的9倍,则此数列的公比为
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
A
9. 若复数z满足(i为虚数单位),则z=( )
A.1+ i B.1-i C. i D.-i
参考答案:
D
10. 在△ABC中,sinA=,,则△ABC的面积为( )
A.3 B.4 C.6 D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】由题意结合数量积的运算可得,而△ABC的面积S=,代入数据计算可得.
【解答】解:由题意可得,
又sinA=,故可得cosA=,故=10
故△ABC的面积S===3
故选A
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算,涉及三角形的面积公式,属中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设平面向量,若,则
参考答案:
因为,所以,解得。
12. 如果函数的图像恒在轴上方,则的取值范围为__▲_ .
参考答案:
略
13. 已知函数,给出下列四个命题,①函数的最小正周期为,且在上递减;②直线是函数的图像的一条对称轴;③对称中心;④若时函数的值域为。其中正确的命题的序号是_________。
参考答案:
④
略
14. 函数的值域是________.
参考答案:
试题分析:由题意有,,则,则.
考点:对数函数的性质.
15. 设数列{an}的前n项和为Sn.若a2=12,Sn=kn2﹣1(n∈N*),则数列{}的前n项和为 .
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】Sn=kn2﹣1(n∈N*),可得:当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,由a2=12,解得k=4.可得Sn=4n2﹣1, ==.利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:∵Sn=kn2﹣1(n∈N*),
∴当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=kn2﹣1﹣[k(n﹣1)2﹣1]=2nk﹣k,
∴a2=4k﹣k=12,解得k=4.
∴Sn=4n2﹣1,
∴==.
∴数列{}的前n项和=++…+
=
=.
故答案为:.
【点评】本题考查了“裂项求和”、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16. 已知函数,在函数的定义域内任取一点,使得的概率是___________.
参考答案:
略
17. 函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是 .
参考答案:
π
考点: 二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 根据二倍角的正弦公式,化简可得f(x)=sin2x,再由三角函数的周期公式即可算出函数f(x)的最小正周期.
解答: 解:∵sin2x=2sinxcosx
∴f(x)=sinxcosx=sin2x,
因此,函数f(x)的最小正周期T==π
故答案为:π
点评: 本题给出三角函数式,求函数的周期,着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,、、分别是角、、的对边,且.
(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若,求面积的最大值.
参考答案:
解析:(Ⅰ)由正弦定理得,即 得,因为,所以,得,因为,所以,又为三角形的内角,所以 (Ⅱ),由及得
,又,所以当时,取最大值
19. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,.
(1)求的值;
(2)设,且实数t满足,求t的取值范围.
参考答案:
解:(1),∴.
(2)根据题意:由,令,可得,
∵,两边平方得,,
∴125a2+25a2t2﹣2t?25a2≥100a2+25a2,∴t2﹣2t≥0,
∴t≥2或t≤0.
略
20. 在极坐标系中,已知两点O(0,0),B(,).
(1)求以OB为直径的圆C的极坐标方程,然后化成直角坐标方程;
(2)以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C相交于M,N两点,圆C的圆心为C,求△MNC的面积.
参考答案:
(1)设为圆上任意一点,则,,
在中,,即.…3分
∴,
∴圆的直角坐标方程为.…….5分
(2)作于,到直线的距离,
在中,,
∴的面积为.……10分
21. (本题12分)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,底面为正三角形,AA1⊥平面ABC,且AA1=AB=3,D 是BC的中点.
(I)求证:平面ADC1⊥平面DCC1;
(II)在侧棱CC1上是否存在一点E,使得三棱锥C-ADE的
体积是,若存在,求CE长;若不存在,说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)证明:∵底面正三角形,是的中点
∴
∵平面,又平面, ∴.
∵,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)解:假设在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,设 ∴三棱锥的体积
∴, ∴.
∴ ∴
∴在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是
22. 在三棱锥S-ABC中,,,.
(1)求证:;
(2)如果,,求三棱锥S-ABC的体积.
参考答案:
解:(1)取线段的中点,连接,.由平面几何知识可知,
于是,,从而,,
即有平面,故.
(2)在直角中,,,
有,.同理,,
而,于是,所以,
在中,,,,
于是,,,
所以,,
由(1)可知平面,
三棱锥的体积.