河北省秦皇岛市青龙木头凳中学高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
参考答案:
D
2. 已知函数 的图像在点与点处的切线互相垂直并交于一点P,则点P的坐标可能为( )
A. B. C D.
参考答案:
D
3. 双曲线的渐近线与抛物线相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
D
4. 已知,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由辅助角公式将所求的角化为与已知同角,再利用同角间的三角函数关系,即可求解.
【详解】,
,
,
.
故选:C.
【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值,应用平方关系要注意角的范围判断,属于中档题.
5. 若,,且当时,恒有1,则以为坐标的点所形成的平面区域的面积是
A. B. C.1 D.
参考答案:
C
略
6.
参考答案:
B
7. 三角形ABC中,若2,且b=2,角A=300,则ΔABC的面积为:
A. 1 B. C.2 D.
参考答案:
B
略
8. 在一次独立性检验中,得出2×2列联表如下:
且最后发现,两个分类变量X和y没有任何关系,则m的可能值是
A.200 B.720 C.100 D.180
参考答案:
B
9. 设,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注:若,则, )
A 7539 B. 6038
C. 7028 D. 6587
参考答案:
D
10. 执行右面的程序框图,输出的s是( )
(A) -378
(B) 378
(c) -418
(D) 418
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.则在以圆心O为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为 .
参考答案:
x2+y2=225
考点:
圆的标准方程.
专题:
直线与圆.
分析:
如图所示:由题意可得sinθ=,OA=13,利用直角三角形中的边角关系求得cos∠AOD、OD、AD 的值,可得BD 的值,再求得 OB2=OD2+BD2 的值,即可得到圆O的方程.
解答:
解:如图所示:设OA与正北方向的夹角为θ,则由题意可得sinθ=,OA=13,
∴cos∠AOD=sinθ=,OD=OA?cos∠AOD=13×=12,AD=OA?sin∠AOD=13×=5,
∴BD=14﹣AD=9,∴OB2=OD2+BD2=144+81=225,
故圆O的方程为 x2+y2=225,
故答案为 x2+y2=225.
点评:
本题主要考查直角三角形中的边角关系,求圆的标准方程,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
12. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为____________
参考答案:
13. 某单位有员工90人,其中女员工有36人,为做某项调查,拟采用分层抽样抽取容量为15的样本,则男员工应选取的人数是 .
参考答案:
9
【考点】分层抽样方法.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】总体的个数是90人,要抽一个15人的样本,则每个个体被抽到的概率是,用概率去乘以男员工的人数,得到结果
【解答】解:总体的个数是90人,要抽一个15人的样本,则每个个体被抽到的概率是=,
男员工应选取的人数(90﹣36)×=9人,
故答案为:9.
【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依据.
14. 设,则数列的各项和为
参考答案:
15. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km.
参考答案:
30
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题.
【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长,进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°,∠AMB=45°,和AB的长度,求得BM.
【解答】解:如图,依题意有
AB=15×4=60,
∠MAB=30°,∠AMB=45°,
在△AMB中,
由正弦定理得=,
解得BM=30(km),
故答案为30.
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.常需利用正弦定理或余弦定理,根据已知的边或角求得问题的答案.
16. 已知(a+3b)n展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则n= .
参考答案:
6
【考点】二项式系数的性质.
【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和,根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n,据已知列出方程求出n的值.
【解答】解:令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n
又各项二项式系数的和为2n
据题意得,解得n=6.
故答案:6
17. 已知点A,B,C,D在球O的表面上,且,,若三棱锥A-BCD的体积为,球心O恰好在棱AD上,则这个球的表面积为_______.
参考答案:
16π
【分析】
根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式,求得设点到平面的距离,又由球的性质,求得,利用球的表面积公式,即可求解.
【详解】由题意,满足,所以为直角三角形,
根据条件可知球心是侧棱中点.
设点到平面的距离为,则,解得,
又由球的性质,可得球半径为,满足,
所以,所以这个球的表面积.
【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算,以及球的组合体的应用,其中解答中正确认识组合体的结构特征,合理利用球的性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱锥P﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,∠PCA=90°,E,H分别为AP,AC的中点,AP=4,BE=.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值.
参考答案:
考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:(Ⅰ)证明:BH⊥AC,EH⊥AC,即可证明AC⊥平面BEH;
(Ⅱ)取BH得中点G,连接AG,证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角,即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值.
解答: (Ⅰ)证明:因为△ABC是边长为2的正三角形,
所以BH⊥AC.…
又因为E,H分别为AP,AC的中点,得EH∥PC,
因为∠PCA=90°,
所以EH⊥AC.…
故AC⊥平面BEH.…
(Ⅱ)解:取BH得中点G,连接AG.…
因为EH=BH=BE=,所以EG⊥BH.
又因为AC⊥平面BEH,所以EG⊥AC,
所以EG⊥平面ABC.
所以∠EAG为PA与平面ABC所成的角.…
在直角三角形EAG中,AE=2,EG=,
所以\sin∠EAG==.…
所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为.
点评:本题考查线面垂直的判定,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,正确利用线面垂直的判定定理是关键.
19. 选修4—1:几何证明选讲
在中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆
交于点P,交BC延长线于点D。
(1)求证: ;
(2)若AC=3,求的值。
参考答案:
(1) 证明:连结BP,∵四边形ABCP内接于圆,
∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA
∴△PCD~△BAD
∴
又∵AB=AC
∴ (5分)
(2)连结BP。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
又∵四边形ABCP内接于圆 ∴∠ACB=∠APB
从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD
∴△PAB~BAD ∴ ∴
又∵AB=AC=3 ∴= (10分)
略
20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知,且对一切都成立.
(1)若λ = 1,求数列的通项公式;
(2)求λ的值,使数列是等差数列.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)本题已知条件是,我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式,变形为,这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型,因此首先由得
∴当时,.②
② - ①,得, ∴(). ………………… 6分
所以λ = 0时,数列是等差数列. ………………… 16分
考点:递推公式,累乘法,与的关系,等差数列.
21. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以BC为直径的圆O交
AC于点D,设E为AB的中点.
(1)求证:直线DE为圆O的切线;
(2)设CE交圆O于点F,求证:CD·CA=CF·CE.
参考答案:
略
22. (本小题12分)
如图,在棱长均为4的三棱柱中,、分别是、的中点
(1)求证:平面;
(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥的体积.
参考答案:
【知识点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.G4 G1
【答案解析】(1)证明:略;(2)8.
解析:(1)证明:连接DD1,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
∵D、D1分别是BC和B1C1的中点.
∴B1D1∥BD,且B1D1=BD
∴四边形B1BDD1为平行四边形
∴BB1∥DD1,且BB1=DD1
又因AA1∥BB1,AA1=BB1
所以AA1∥DD1,AA1=DD1
所以四边形AA1D1D为平行四边形,所以A1D1∥AD
又A1D1平面AB1D,AD平面AB1D
故A1D1∥平面AB1D;
(2)在△ABC中,棱长均为4,则AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B1C1CB,交线为BC,AD?平面ABC
所以AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱锥A﹣B1BC的高
在△ABC中,AB=AC=BC=4得AD=2
在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°
所以△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8
【思路点拨】(1)欲证A1D1∥平面AB1D,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行,连接DD1,根据中位线定理可知B1D1∥BD,且B1D1=BD,则四边形B1BDD1为平行四边形,同理可证四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1∥AD
又A1D1平面AB1D,AD平面AB1D,满足定理所需条件;
(2)根据面面垂直的性质定理可