湖北省荆州市太岳中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标平面的距离都是2,那么该定点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】空间中的点的坐标.
【分析】设该定点坐标为(x,y,z),由题设推导出|x|=|y|=z|=2,由此能求出该定点到原点的距离.
【解答】解:设该定点坐标为(x,y,z),
∵在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标平面的距离都是2,
∴|x|=2,|y|=2,|z|=2,
∴该定点到原点的距离是: =2.
故选:B.
2. 已知log2(x+y)=log2x+log2y,则的最小值是( )
A.16 B.25 C.36 D.81
参考答案:
B
考点:基本不等式;对数的运算性质.
专题:不等式的解法及应用.
分析:根据对数的运算法则得到+=1,然后将进行化简整理为=9x+4y,然后利用基本不等式进行求解.
解答: 解:∵log2(x+y)=log2x+log2y,
∴log2(x+y)=log2(xy),
即x+y=xy>0,且x>0,y>0,
即=1,
即+=1,则=1﹣,=1﹣,
则=+=+=9x+4y,
∵9x+4y=(9x+4y)(+)=9+4++≥13+2=13+2×6=25,
当且仅当=,即4y2=9x2,即2y=3x时取等号,
∴的最小值是25.
故选:B
点评:本题主要考查函数最值的求解以及对数的运算法则,根据基本不等式是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
3. 已知函数,若,则实数的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:对函数求导得,所以,故选A.
考点:导数的运算.
4. 设A,B在圆x2+y2=1上运动,且|AB|=,点P在直线3x+4y﹣12=0上运动,则|+|的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
参考答案:
D
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】设AB的中点为D,则由题意, +=+++=2+2=2,当且仅当O,D,P三点共线时,|+|取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0,OP⊥AB.
【解答】解:设AB的中点为D,则
由题意, +=+++=2+2=2,
∴当且仅当O,D,P三点共线时,|+|取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0,OP⊥AB,
∵圆心到直线的距离为=,OD==,
∴|+|的最小值为2(﹣)=.
故选D.
5. 若实数x,y满足不等式组,则3x+4y的最小值是( )
A.13 B.15 C.20 D.28
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】我画出满足不等式组的平面区域,求出平面区域中各角点的坐标,然后利用角点法,将各个点的坐标逐一代入目标函数,比较后即可得到3x+4y的最小值.
【解答】解:满足约束条件的平面区域如下图所示:
由图可知,当x=3,y=1时
3x+4y取最小值13
故选A
【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.
6. 在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )
A. 36 B. 72 C. 24 D. 48
参考答案:
A
【分析】
分为两步进行求解,即先把四名学生分为1,1,2三组,然后再分别对应3名任课老师,根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】根据题意,分2步进行分析:
①先把4名学生分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有种分组方法;
②将分好的3组对应3名任课教师,有种情况;
根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案.
故选A.
【点睛】解答本题的关键是读懂题意,分清是根据分类求解还是根据分布求解,然后再根据排列、组合数求解,容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题.考查理解和运用知识解决问题的能力,属于基础题.
7. 已知直线的方程为,则该直线的斜率为( )
A. B. C.2 D.-2
参考答案:
A
8. 过点M(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,且直线l1:ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”.从如图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的是( )
A.16=3+13 B.25=9+16 C.36=10+26 D.49=21+28
参考答案:
D
【考点】F1:归纳推理.
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…,根据题目已知条件:从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.可得出最后结果.
【解答】解:这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,
且正方形数是这串数中相邻两数之和,
很容易看到:恰有21+28=49.
故选D.
10. 在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若.则的最大值是 .
参考答案:
略
12. 曲线与直线及x轴围成的图形的面积为 .
参考答案:
由曲线与直线及轴围成的图形的面积为
13. 某田径队有男运动员42人,女运动员30人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本.若抽到的女运动员有5人,则n的值为 .
参考答案:
12
【考点】B3:分层抽样方法.
【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42:30=7:5,然后根据比例进行抽取即可.
【解答】解:田径队有男运动员42人,女运动员30人,所男运动员,女运动员的人数比为:42:30=7:5,
若抽到的女运动员有5人,则抽取的男运动员的人数为7人,
则n的值为7+5=12
故答案为:12.
14. 如果不等式的解集为A,且,那么实数a的取值范围是 ____
参考答案:
【分析】
将不等式两边分别画出图形,根据图像得到答案.
【详解】不等式的解集为,且
画出图像知:
故答案为:
【点睛】本题考查了不等式的解法,将不等式关系转化为图像是解题的关键.
15. 商场每月售出的某种商品的件数是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可获利 元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____.
参考答案:
1500
16. 已知函数在处有极大值,则 .
参考答案:
6
17. 设P(x0,y0)是椭圆+=1上一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则?的最大值为 .
参考答案:
4
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=8,且|PF1|>0,|PF2|>0,由此利用均值定理能求出?的最大值.
【解答】解:∵P(x0,y0)是椭圆+=1上一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,
∴|PF1|+|PF2|=8,且|PF1|>0,|PF2|>0,
∴?≤==4,
∴当且仅当|PF1|=|PF2|=4时,
?取最大值4.
故答案为:4.
【点评】本题考查椭圆的定义的应用,是中档题,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数图像上的点处的切线方程为.
(1)若函数在时有极值,求的表达式;
(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围。
参考答案:
(1)f′(x)=-3x2+2ax+b,由题意可得
解得
经验证满足条件,
∴f(x)=-x3-2x2+4x-3. ---------- ----------------------6分
(2)由f′(1)=-3,得2a=-b.
∵函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,∴f′(x)=-3x2-bx+b≥0恒成立,
∴b≥在区间[-2,0]上恒成立.
令g(x)= ,则 ,
∴g(x)在区间[-2,0]上单调递增,得g(x)max=0.
∴b≥0.---------------------------12分
略
19. 已知函数 .
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)函数在(2,4)上是减函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)减区间为(0,),(1,+∞),增区间为(,1);(2)
分析:(1)求导得,得到减区间为(0,),(1,+∞),增区间为(,1);
(2),在x∈(2,4)上恒成立,等价于上恒成立,即可求出实数a的取值范围
详解:(1)
函数的定义域为(0,+∞),在区间(0,),(1,+∞)上f ′(x)<0. 函数为减函数;在区间(,1)上f ′(x)>0. 函数为增函数.
(2)函数在(2,4)上是减函数,则,在x∈(2,4)上恒成立.
实数a的取值范围
点睛:本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性,,单调递增,,单调递减。当函数含参时,则一般采取分离参数法,转化为已知函数的最值问题,利用导数求解.
20. 已知全集U=R,集合,集合.
(1)求;
(2)若集合,且集合A与集合C满足,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先根据指数不等式求出集合,再利用集合的补集和并集运算求解;
(2)根据集合的交集运算和子集关系列出不等式组,注意是否取等号.
【详解】
∵,
【点睛】本题考查集合的交、并、补运算,属于基础题.
21. 已知椭圆的左,右焦点分别为,其中也是抛物线的焦点,是与在第一象限的交点,且
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆上一点,是椭圆上的两个动点,若直线的斜率与的斜率互为相反数,探求直线的斜率是否为定值?如果是,求出定值;反之,请说明理由.
参考答案:
解:(I)设
由抛物线定义,[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]
M点C1上,
舍去.
椭圆C1的方程为
(II)设直线的方程为代人椭圆方程得
设 ,可得
,故
22. 如图,在梯形ABCD中,A