湖南省衡阳市明帅文武双修学校高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 复数（其中为虚数单位）的虚部等于( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
2. 在中，内角的对边分别是若，则=( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
4. 若变量x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
参考答案：
D
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），
由z=x+2y，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z，
经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．
由，解得 A（0，1）．
此时z的最大值为z=0+2×1=2，
故选：D．
5. 若函数是函数的反函数，且，则 ( )
A． B． C． D．2
参考答案：
A
6. 设，则M，N大小关系是（ ）
A． M＞N B． M=N C．M＜N D． 不能确定
参考答案：
A
7. 下列命题中的假命题是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
B
略
8. 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD—中，AB=，，则，两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 若z是复数，z=．则z?=（ ）
A． B． C．1 D．
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z?计算得答案．
【解答】解：由z==，
得，
则z?=．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10. 设全集，集合,集合，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知中，角的对边分别为，且满足，其中C为锐角，，则角_____________，边 .
参考答案：
，
12. 的值为________.
参考答案：
1
。
13. 若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为 .
参考答案：
2
14. 复数的虚部为__________.
参考答案：
32
略
15. 设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m为的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为 ．
参考答案：
π
【考点】简单线性规划．
【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．
【解答】解：设x、y的线性约束条件，如图所示：
解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即：a+b=2，
所以： +=≥2，
则y=sin（2x+）的最小正周期为π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．
16. 在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD的面积为 ．
参考答案：
3
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】用，表示出括号内的和向量，化简得出AC，从而可求得四边形的面积．
【解答】解：∵，∴AC⊥BD，
∵，
∴（）?（）=（）?（）=﹣=5，
∴2=+5=9，∴AC=3．
∴四边形ABCD的面积S===3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积运算，属于中档题．
17. 当a时，关于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
（，）
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】关于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0可化为（x﹣1）ex＜a（x﹣2）；
设f（x）=（x﹣1）ex，g（x）=a（x﹣2），其中a＜；
利用导数判断单调性、求出f（x）的最值，画出f（x）、g（x）的图象，
结合图象得出不等式的解集中有且只有两个整数时a的取值范围．
【解答】解：当a时，关于x的不等式（ex﹣a）x﹣ex+2a＜0可化为
ex（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜0，
即（x﹣1）ex＜a（x﹣2）；
设f（x）=（x﹣1）ex，
g（x）=a（x﹣2），其中a＜；
∴f′（x）=ex+（x﹣1）ex=xex，
令f′（x）=0，解得x=0；
∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴x=0时f（x）取得最小值为f（0）=﹣1；
g（x）=a（x﹣2）是过定点（2，0）的直线；
画出f（x）、g（x）的图象如图所示；
要使不等式的解集中有且只有两个整数值，
∵a＜，当x=0时y=﹣1，满足条件，0是整数解；
当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2e﹣1；
当x=﹣2时，f（x）=﹣3e﹣2，此时=＞a，
不等式有两个整数解为﹣1和0，
∴实数a的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在直角梯形中，，，将沿折起至，使二面角为直角.
(1)求证：平面平面；
(2)若点满足,，当二面角为45°时，求的值.
参考答案：
：(1)梯形中，
∵∴.
又∵,
∴,∴.
∴.
折起后，∵二面角为直角，
∴平面平面.
又平面平面,
∴平面.
又平面，
∴.
又∵,
∴平面.
又∵平面，∴平面平面.
(2)由(1)知，平面，∴以为原点，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
设，由,
得，得.
取线段的中点，连结，
则,
∵,∴.
又∵,
∴平面.
∴平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则
取，则.
∴，
即或.
∵，∴.
19. 已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；
（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，
∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，
∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，
∴a+=1，2a+b=2；
法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，
显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（）=a+，
∴a+=1，2a+b=2．
（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
=+=（+）（2a+b ）?=（1+4++），
当a=b=时，取得最小值，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法二：∵a+2b≥tab恒成立，
∴≥t恒成立，
t≤=+恒成立，
+=+≥=，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法三：∵a+2b≥tab恒成立，
∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，
∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，
∴（3+2t）2﹣326≤0，
∴≤t≤，实数t的最大值为．
20. （本小题满分12分）
设二次函数，函数的两个零点为.
（1）若求不等式的解集；
（2）若且，比较与的大小．
参考答案：
解：（1）由题意知，
当时，不等式 即为.
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.……………………6分
（2）
且，∴
∴， 即． …………………12分
略
21. （本小题满分12分）已知锐角中内角A、B、C的对边分别为.
（I）求角C的值；
（II）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.
参考答案：
22. (15分)在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在第二象限，在轴上截得的弦长为4且与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(Ⅰ)求圆的方程；
(Ⅱ)若圆上存在异于原点的点，使点到椭圆右焦点的距离等于线段的长，请求出点的坐标.
参考答案：
解析：(Ⅰ)圆C的圆心在第二象限，且与直线相切于坐标原点，
可设圆C的方程为，………………4分
令得，
圆在轴上截得的弦长为4
，
圆C的方程为 ………………8分
(Ⅱ)由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），F在OQ的中垂线上，
又在圆C上，所以关于直线对称；
直线的方程为， 即 ………………10分
设（x,y），则， ………………13分
解得
所以点坐标为. ………………15分