2022-2023学年河南省商丘市永城乡练祠堂中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列各角中,与60°角终边相同的角是( )
A.-60° B. -300° C. 240° D. 480°
参考答案:
B
【分析】
利用终边相同的角的公式判断分析得解.
【详解】由题得60°角在第一象限,-60°角在第四象限,240°角在第三象限,
,所以480°角在第二象限,
,所以-300°角在第一象限,与60°角终边相同.
故选:B
【点睛】本题主要考查终边相同的角的公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
2. 如果幂函数的图象不过原点,则的取值是( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
B
略
3. 若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;数形结合法;直线与圆.
【分析】曲线x=即 x2+y2=1(x≥0)表示一个半径为1的半圆,如图,数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围.
【解答】解:曲线x=即 x2+y2=1(x≥0)表示一个半径为1的半圆,如图所示.
当直线y=x+b经过点A(0,1)时,求得b=1,
当直线y=x+b经过点B(1,0)时,求得b=﹣1,
当直线和半圆相切于点D时,由圆心O到直线y=x+b的距离等于半径,
可得=1,求得b=﹣,或b=(舍去).
故当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1<b≤1或b=﹣,
故选:D.
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质.对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外,也可用数形结合的方法较为直观,属于基础题.
4. 如果偶函数在区间上是增函数且最小值是,则在上是
(A)增函数,最大值为 (B)增函数,最小值是
(C)减函数,最大值为 (D)减函数,最小值是
参考答案:
D
5. 设向量,, ( )
(A) (B) (C)- (D)-
参考答案:
A
略
6. 已知在中,角所对的边分别为,若,则
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
7. 设点M是Z轴上一点,且点M到A(1,0,2)与点B(1,﹣3,1)的距离相等,则点M的坐标是( )
A.(﹣3,﹣3,0) B.(0,0,﹣3) C.(0,﹣3,﹣3) D.(0,0,3)
参考答案:
B
【考点】IS:两点间距离公式的应用.
【分析】设出M点的坐标,利用点M到A(1,0,2)与点B(1,﹣3,1)的距离相等,列出方程即可求出M的坐标.
【解答】解:由题意设M(0,0,z),因为点M到A(1,0,2)与点B(1,﹣3,1)的距离相等,
所以,
即,解得z=﹣3.
所以M的坐标为(0,0,﹣3).
故选B.
8. 若和分别是的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≤5 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3
参考答案:
D
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】求出二次函数的对称轴,根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件,即可求出a的取值范围.
【解答】解:∵二次函数的对称轴为x=,抛物线开口向上,
∴函数在(﹣∞,1﹣a]上单调递减,
要使f(x)在区间(﹣∞,4]上单调递减,
则对称轴1﹣a≥4,
解得a≤﹣3.
故选:D.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键.
10. 已知向量a=(-2,2)、b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由|a+b|≤5平方得a2+2a·b+b2≤25,
由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25,
即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
12. 给出下列命题:
(1)函数y=3x(x∈R)与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称;
(2)函数y=|sinx|的最小正周期T=2π;
(3)函数的图象关于点成中心对称图形;
(4)函数的单调递减区间是.
其中正确的命题序号是 .
参考答案:
(1)、(3)、(4)
【考点】正切函数的奇偶性与对称性;正弦函数的单调性.
【分析】(1)指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称;
(2)绝对值三角函数,周期减半,得知最小正周期为π;
(3)当x=时,函数值为0,即可判断.
(4)利用诱导公式使自变量x的系数为正,然后根据正弦函数的单调性求解即可.
【解答】解:(1)函数y=3x(x∈R)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,故它们的图象关于直线y=x对称,正确;
(2)函数y=|sinx|的最小正周期T=π,错误;
(3)函数过点,图象关于点成中心对称图形,正确;
(4),
y=的单调增区间区间满足∈[],k∈Z.
又x∈[﹣2π,2π],所以,函数的单调递减区间是.
正确.
故答案为:(1)、(3)、(4).
13. 对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,已知正数列{an}满足Sn=(an),n∈N*,其中Sn为数列{an}的前n项的和,则[]=______.
参考答案:
20
【分析】
先由数列的关系求出,再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值,可得答案.
【详解】由题可知,当时,化简可得,当
所以数列是以首项和公差都是1的等差数列,即
又时,
记
一方面
另一方面
所以
即
故答案为20
【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点,构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键,注意常见的裂项相消法求和的模型,属于难题.
14. 已知,则函数的解析式为 .
参考答案:
15. 函数的零点为 .
参考答案:
0,3,;
略
16. 若,则
参考答案:
1
17. 给出下列命题:
①函数是奇函数;
②存在实数x,使sinx+cosx=2;
③若α,β是第一象限角且α<β,则tanα<tanβ;
④是函数的一条对称轴;
⑤函数的图象关于点成中心对称.
其中正确命题的序号为 .
参考答案:
①④
【考点】余弦函数的图象;正弦函数的图象.
【分析】利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
【解答】解:①函数=﹣sinx,而y=﹣sinx是奇函数,故函数是奇函数,故①正确;
②因为sinx,cosx不能同时取最大值1,所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立,故②错误.
③令 α=,β=,则tanα=,tanβ=tan=tan=,tanα>tanβ,故③不成立.
④把x=代入函数y=sin(2x+),得y=﹣1,为函数的最小值,故是函数的一条对称轴,故④正确;
⑤因为y=sin(2x+)图象的对称中心在图象上,而点不在图象上,所以⑤不成立.
故答案为:①④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分8分)若函数对于一切实数,
都有,
(1)求并证明是奇函数;
(2)若,求.
参考答案:
(1)
……4分
(2) ……8分
19. 已知向量.(1)若点不能构成三角形,求应满足的条件;(2)若,求的值.
参考答案:
解:(1) 若点不能构成三角形,则这三点共线
由得
4分
∴ 6分
∴满足的条件为; 7分
(2), 9分
由得
11分
∴ 解得. 14分
略
20. 已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}.若B?A,求实数a的值.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【专题】计算题;分类讨论.
【分析】已知B?A,分两种情况:①B=?,②B≠?,然后再根据子集的定义进行求解;
【解答】解:显然集合A={﹣1,1},对于集合B={x|ax=1},
当a=0时,集合B=?,满足B?A,即a=0;
当a≠0时,集合,而B?A,则,或,
得a=﹣1,或a=1,
综上得:实数a的值为﹣1,0,或1.
【点评】此题主要考查子集的定义及其性质,此题还用到分类讨论的思想,注意B=?,这种情况不能漏掉;
21. (本小题满分12分)
如图ABCD—A1B1C1D1是正方体, M、N分别是线段AD1和BD上的中点
(Ⅰ)证明: 直线MN∥平面B1D1C;
(Ⅱ)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为,若以为坐标原点,分别以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B1M的长.
参考答案:
(本小题满分12分)
本题主要考查空间线线、线面、面面位置平行关系转化,空间直角坐标系的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。
证明:(Ⅰ)证明:连结CD1、AC、则N是AC的中点 …2分
在△ACD1,又M是A D1的中点
∴MN∥CD1 ,又CD1 平面ACD1. …………………6分
. ……………………8分
(Ⅱ)B1(a,a,a),M(,0,)…………………10分
……………………12分
略
22. (12分)已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.
(Ⅰ)求通项及;
(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.
参考答案:
解:⑴ ----------------------------------------2分
--------------------------------------5分
⑵由题意得: --------------------------------------7分
所以 ----------------------------------9分
所以 ----------------------------12分
略